Aula 384 — Seno no ciclo trigonométrico
50 minObjetivo geral
Definir o seno de um ângulo no ciclo trigonométrico como a coordenada y do ponto correspondente, reconhecendo valores negativos.
Objetivos específicos
- Definir sen(θ) como a coordenada y do ponto do ciclo trigonométrico associado ao ângulo θ.
- Reconhecer que o seno pode ser negativo (quando o ponto está abaixo do eixo x, 3º e 4º quadrantes).
- Identificar o sinal do seno em cada quadrante.
- Reconhecer os valores extremos: sen(90°)=1 (máximo) e sen(270°)=-1 (mínimo).
Conhecimentos prévios
- Ciclo trigonométrico, Aula 383.
- Seno no triângulo retângulo, Aula 377.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula384_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (círculo trigonométrico) e Desmos Graphing Calculator, para visualizar ângulos, razões e gráficos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: o seno de um ângulo pode ser negativo? No triângulo retângulo, seno sempre foi uma razão entre lados positivos.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar no GeoGebra um ponto do ciclo trigonométrico num ângulo do 3º quadrante (abaixo do eixo x) e perguntar o que representa a coordenada y ali. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): carregar a ideia do triângulo retângulo (onde seno é sempre uma razão positiva entre lados) para o ciclo trigonométrico — no ciclo, sen(θ) é a coordenada y do ponto, que é NEGATIVA quando o ponto está abaixo do eixo x (3º e 4º quadrantes), pois ali não existe mais um triângulo retângulo "físico".
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: sen(θ) = coordenada y do ponto do ciclo trigonométrico associado a θ. No 1º e 2º quadrantes (y>0), seno é positivo; no 3º e 4º quadrantes (y<0), seno é negativo. sen(90°)=1 (ponto mais alto) e sen(270°)=-1 (ponto mais baixo) são os valores extremos. Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim, pode ser negativo — no ciclo trigonométrico, seno é a coordenada y, que fica negativa quando o ponto está na parte de baixo do círculo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: identificar coletivamente o sinal de sen(200°) (3º quadrante, y<0, negativo). Em duplas: identificar o sinal de sen(340°) (4º quadrante, y<0, negativo).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim, pode ser negativo — no ciclo trigonométrico, sen(θ) é a coordenada y, negativa nos quadrantes abaixo do eixo x.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Como se define sen(θ) no ciclo trigonométrico?
Gabarito: Como a coordenada y do ponto do ciclo associado ao ângulo θ.
2. Em quais quadrantes o seno é negativo?
Gabarito: 3º e 4º quadrantes (onde y<0).
3. Quais os valores máximo e mínimo do seno, e em que ângulos ocorrem?
Gabarito: Máximo 1 em 90°; mínimo -1 em 270°.
4. Qual o sinal de sen(200°)?
Gabarito: Negativo (3º quadrante).
5. Encontre o erro: "seno nunca pode ser negativo, como no triângulo retângulo."
Gabarito: Errado: no ciclo trigonométrico, sen(θ) é a coordenada y, que é negativa nos quadrantes 3 e 4 — diferente do triângulo retângulo, restrito a ângulos agudos.