Aula 386 — Tangente no ciclo trigonométrico
50 minObjetivo geral
Definir a tangente no ciclo trigonométrico como sen(θ)/cos(θ), reconhecendo que ela é indefinida quando cos(θ)=0.
Objetivos específicos
- Definir tan(θ) = sen(θ)/cos(θ) no ciclo trigonométrico.
- Reconhecer que a tangente é indefinida quando cos(θ)=0 (θ=90° ou 270°).
- Identificar o sinal da tangente em cada quadrante (a partir dos sinais de seno e cosseno).
- Interpretar geometricamente a tangente como a medida no eixo tangente (reta vertical tocando o ciclo em x=1).
Conhecimentos prévios
- Cosseno no ciclo trigonométrico, Aula 385.
- Tangente no triângulo retângulo, Aula 379.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula386_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (círculo trigonométrico) e Desmos Graphing Calculator, para visualizar ângulos, razões e gráficos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: existe algum ângulo em que a tangente simplesmente não existe?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoMostrar no GeoGebra o ponto do ciclo se aproximando de 90° e perguntar o que acontece com tan(θ)=sen(θ)/cos(θ) conforme cos(θ) se aproxima de zero. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a tangente sempre tem um valor definido, como seno e cosseno — como tan(θ)=sen(θ)/cos(θ) é uma DIVISÃO, ela fica indefinida exatamente quando cos(θ)=0, ou seja, em θ=90° e θ=270°.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: tan(θ)=sen(θ)/cos(θ), indefinida quando cos(θ)=0 (θ=90°, 270°). O sinal da tangente segue a regra do quociente dos sinais de seno e cosseno: 1º quadrante (+/+ = +), 2º (+/- = -), 3º (-/- = +), 4º (-/+ = -). Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim — em θ=90° e θ=270°, cos(θ)=0, e a divisão sen(θ)/cos(θ) fica indefinida (a tangente "explode", tende a infinito).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente o sinal de tan(200°) (3º quadrante: sen<0, cos<0, logo tan>0). Em duplas: calcular o sinal de tan(340°) (4º quadrante: sen<0, cos>0, logo tan<0).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — em 90° e 270°, cos(θ)=0, e a tangente (sen/cos) fica indefinida, pois não existe divisão por zero.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a tangente em função de seno e cosseno.
Gabarito: tan(θ) = sen(θ)/cos(θ).
2. Em que ângulos a tangente é indefinida, e por quê?
Gabarito: 90° e 270°, porque cos(θ)=0 nesses ângulos, e a divisão por zero não é definida.
3. Qual o sinal de tan(200°)?
Gabarito: Positivo (3º quadrante: sen negativo, cos negativo, quociente positivo).
4. Qual o sinal de tan(340°)?
Gabarito: Negativo (4º quadrante: sen negativo, cos positivo, quociente negativo).
5. Encontre o erro: "a tangente tem um valor definido para qualquer ângulo, como seno e cosseno."
Gabarito: Errado: a tangente é indefinida em 90° e 270°, onde cos(θ)=0, pois tan(θ)=sen(θ)/cos(θ) exige divisão por um número diferente de zero.