← Módulo

Aula 388 — Relações fundamentais da trigonometria

50 min
Baixar plano de aula (.docx)Abrir apresentação (.pptx)

Objetivo geral

Aplicar a relação fundamental sen2(θ)+cos2(θ)=1 para encontrar um valor trigonométrico a partir de outro.

Objetivos específicos

  • Enunciar a relação fundamental: sen2(θ)+cos2(θ)=1, válida para qualquer ângulo θ.
  • Deduzir a relação fundamental a partir do Teorema de Pitágoras aplicado ao ciclo trigonométrico (raio 1).
  • Usar a relação fundamental para calcular cos(θ) a partir de sen(θ) (ou vice-versa), atento ao sinal correto pelo quadrante.
  • Reconhecer tan(θ)=sen(θ)/cos(θ) como uma segunda relação fundamental.

Conhecimentos prévios

  • Redução ao primeiro quadrante, Aula 387.
  • Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula388_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra (círculo trigonométrico), para visualizar ângulos e razões.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: se eu souber só o seno de um ângulo, dá pra descobrir o cosseno sem saber o ângulo exato?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever sen(θ)=3/5 no quadro e perguntar se cos(θ) fica determinado. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): calcular cos(θ) usando só sen2+cos2=1 sem verificar o QUADRANTE do ângulo — a equação dá cos(θ)=±4/5, e escolher o sinal certo exige saber em que quadrante θ está (positivo nos quadrantes 1 e 4, negativo nos 2 e 3).

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: sen2(θ)+cos2(θ)=1 vem diretamente do Teorema de Pitágoras aplicado ao ciclo trigonométrico (ponto (cos θ, sen θ) a distância 1 da origem: x2+y2=12). Resolvendo a pergunta do Momento 2: quase — sen(θ)=3/5 dá cos(θ)=±4/5 (de 9/25+cos2=1, cos2=16/25); o SINAL certo depende do quadrante onde θ está, que precisa ser informado à parte.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: dado sen(θ)=3/5 com θ no 1º quadrante, calcular coletivamente cos(θ)=+4/5 (positivo, pois 1º quadrante). Em duplas: dado sen(θ)=3/5 com θ no 2º quadrante, calcular cos(θ)=-4/5 (negativo, pois 2º quadrante).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: quase — a relação fundamental dá o VALOR ABSOLUTO de cos(θ), mas o sinal certo só fica determinado sabendo o quadrante do ângulo.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Enuncie a relação fundamental da trigonometria.

Gabarito: sen2(θ) + cos2(θ) = 1.

2. De onde vem essa relação?

Gabarito: Do Teorema de Pitágoras aplicado ao ponto (cos θ, sen θ) do ciclo trigonométrico, a distância 1 da origem: cos2+sen2=12.

3. Dado sen(θ)=3/5 com θ no 1º quadrante, calcule cos(θ).

Gabarito: cos2=1-9/25=16/25; como θ está no 1º quadrante, cos(θ)=+4/5.

4. Dado sen(θ)=3/5 com θ no 2º quadrante, calcule cos(θ).

Gabarito: cos2=16/25; como θ está no 2º quadrante (cosseno negativo), cos(θ)=-4/5.

5. Encontre o erro: "sen(θ)=3/5 já determina cos(θ)=4/5, sem precisar saber o quadrante."

Gabarito: Errado: a relação fundamental só dá cos(θ)=±4/5; o sinal certo depende do quadrante de θ, informação que falta.

← Aula 387Aula 389 →