Aula 400 — Inequações trigonométricas
50 minObjetivo geral
Resolver inequações trigonométricas simples, expressando a solução como um intervalo de ângulos no ciclo trigonométrico.
Objetivos específicos
- Resolver inequações do tipo sen(x)>k, identificando o arco (intervalo de ângulos) que satisfaz a condição.
- Resolver inequações do tipo cos(x)<k da mesma forma.
- Representar a solução de uma inequação trigonométrica como um arco destacado no ciclo, não como pontos isolados.
- Expressar a solução em notação de intervalo.
Conhecimentos prévios
- Equações trigonométricas, Aula 399.
- Inequações do 1º grau, Módulo 6.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula400_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra (círculo trigonométrico) e Desmos Graphing Calculator, para visualizar ângulos, razões e gráficos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a solução de sen(x)>1/2 é um conjunto de pontos isolados (como nas equações) ou algo diferente?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoResolver sen(x)=1/2 no quadro (x=30° ou 150°) e perguntar como isso ajuda a resolver sen(x)>1/2. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar a inequação como se tivesse solução em PONTOS isolados, igual à equação — a solução de uma inequação trigonométrica é um ARCO (intervalo contínuo) do ciclo, delimitado pelos pontos onde a equação correspondente é satisfeita.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para resolver sen(x)>1/2, primeiro resolve-se sen(x)=1/2 (x=30° e x=150°, que delimitam o arco); depois verifica-se em qual trecho do ciclo sen(x) realmente é MAIOR que 1/2 (entre 30° e 150°, onde y>1/2 no ciclo). Resolvendo a pergunta do Momento 2: é um intervalo contínuo (arco), não pontos isolados — a solução de sen(x)>1/2 em [0°,360°) é o intervalo (30°,150°).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente sen(x)>1/2 em [0°,360°) (intervalo (30°,150°), verificando visualmente no ciclo). Em duplas: resolver cos(x)<0 em [0°,360°) (intervalo (90°,270°), onde a coordenada x é negativa).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: é um arco contínuo, não pontos isolados — a solução de uma inequação trigonométrica é sempre um intervalo de ângulos no ciclo.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva sen(x)>1/2 em [0°,360°).
Gabarito: x ∈ (30°,150°).
2. Resolva cos(x)<0 em [0°,360°).
Gabarito: x ∈ (90°,270°).
3. Por que a solução de uma inequação trigonométrica é um intervalo, não pontos isolados?
Gabarito: Porque a desigualdade vale para todo um arco contínuo do ciclo, delimitado pelos ângulos onde a igualdade correspondente ocorre.
4. Qual o primeiro passo para resolver uma inequação como sen(x)>k?
Gabarito: Resolver a equação sen(x)=k, encontrando os ângulos que delimitam o arco-solução.
5. Encontre o erro: "a solução de sen(x)>1/2 é só x=30° e x=150°, como na equação."
Gabarito: Errado: esses dois ângulos são os limites do arco-solução; a inequação vale para todo o intervalo (30°,150°), não só esses dois pontos.