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Aula 399 — Equações trigonométricas

50 min
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Objetivo geral

Resolver equações trigonométricas simples num intervalo dado, reconhecendo que geralmente existe mais de uma solução.

Objetivos específicos

  • Resolver equações do tipo sen(x)=k, identificando TODAS as soluções num intervalo (ex.: [0°,360°)).
  • Resolver equações do tipo cos(x)=k e tan(x)=k da mesma forma.
  • Usar a simetria do ciclo trigonométrico para encontrar a segunda solução a partir da primeira.
  • Reconhecer que, sem restrição de intervalo, uma equação trigonométrica tem infinitas soluções (periodicidade).

Conhecimentos prévios

  • Redução ao primeiro quadrante, Aula 387.
  • Equações do 1º grau, Módulo 6.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula399_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra (círculo trigonométrico) e Desmos Graphing Calculator, para visualizar ângulos, razões e gráficos.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: a equação sen(x)=1/2 tem uma única solução, ou mais de uma?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever sen(x)=1/2 no quadro e resolver só até x=30°, perguntando se terminou. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): parar na primeira solução encontrada (x=30°) sem verificar se existem outras no mesmo intervalo — como o ciclo trigonométrico é simétrico, sen(x)=1/2 também vale para x=150° (=180°-30°), e ambas as soluções precisam ser dadas.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: para resolver sen(x)=k em [0°,360°), encontra-se a primeira solução x1 (ex.: 30°) e a segunda usando a simetria do ciclo: x2=180°-x1 (para seno). Para cos(x)=k, a segunda solução é x2=360°-x1. Sem restrição de intervalo, cada solução se repete a cada 360° (ou 180° para tangente), gerando infinitas soluções. Resolvendo a pergunta do Momento 2: mais de uma — sen(x)=1/2 tem soluções x=30° e x=150° em [0°,360°).

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: resolver coletivamente sen(x)=1/2 em [0°,360°) (x=30° ou x=150°). Em duplas: resolver cos(x)=-1/2 em [0°,360°) (x=120° ou x=240°).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: mais de uma — a simetria do ciclo trigonométrico garante uma segunda solução, que não pode ser esquecida.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Resolva sen(x)=1/2 em [0°,360°).

Gabarito: x=30° ou x=150°.

2. Resolva cos(x)=-1/2 em [0°,360°).

Gabarito: x=120° ou x=240°.

3. Resolva tan(x)=1 em [0°,360°).

Gabarito: x=45° ou x=225°.

4. Sem restrição de intervalo, quantas soluções tem sen(x)=1/2?

Gabarito: Infinitas — cada solução se repete a cada 360°, pela periodicidade do seno.

5. Encontre o erro: "sen(x)=1/2 tem só a solução x=30°."

Gabarito: Errado: pela simetria do ciclo, x=150° (=180°-30°) também é solução em [0°,360°).

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