Aula 404 — Igualdade de vetores
50 minObjetivo geral
Verificar a igualdade entre dois vetores comparando módulo, direção e sentido, independentemente de onde estão representados.
Objetivos específicos
- Enunciar a condição de igualdade: dois vetores são iguais se têm o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
- Verificar a igualdade entre vetores dados por suas coordenadas.
- Reconhecer que dois vetores desenhados em lugares diferentes, mas equipolentes, são o vetor igual (retoma a Aula 402).
- Diferenciar vetores iguais de vetores apenas com o mesmo módulo (que podem ter direções ou sentidos diferentes).
Conhecimentos prévios
- Vetor nulo e vetor oposto, Aula 403.
- Conceito e representação geométrica de vetor, Aula 402.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula404_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: dois vetores com o mesmo módulo são sempre iguais?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoDesenhar dois vetores de módulo 5, mas com direções diferentes (um horizontal, outro vertical) e perguntar se são iguais. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que "mesmo módulo" já garante igualdade entre vetores — a igualdade exige os TRÊS elementos iguais (módulo, direção E sentido); vetores de mesmo módulo mas direções diferentes não são iguais.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: dois vetores u e v são iguais (u=v) quando têm o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido — os três, simultaneamente. Em coordenadas, basta comparar componente a componente: u=(a,b) e v=(c,d) são iguais se a=c e b=d. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — os dois vetores de módulo 5 têm direções diferentes (um horizontal, outro vertical), então não são iguais, mesmo com o mesmo módulo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente se u=(3,4) e v=(4,3) são iguais (não — componentes trocadas, apesar do mesmo módulo 5). Em duplas: verificar se u=(2,-5) e w=(2,-5) são iguais (sim — mesmas componentes).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — mesmo módulo não garante igualdade; é preciso também a mesma direção e o mesmo sentido.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quais as três condições para dois vetores serem iguais?
Gabarito: Mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
2. u=(3,4) e v=(4,3) são iguais?
Gabarito: Não — mesmo módulo (5), mas componentes diferentes, logo direções diferentes.
3. u=(2,-5) e w=(2,-5) são iguais?
Gabarito: Sim — mesmas componentes, logo mesmo módulo, direção e sentido.
4. Como verificar igualdade de vetores dados em coordenadas?
Gabarito: Comparando as componentes correspondentes: são iguais se todas as componentes coincidem.
5. Encontre o erro: "dois vetores de mesmo módulo são sempre iguais."
Gabarito: Errado: também é preciso ter a mesma direção e o mesmo sentido — mesmo módulo sozinho não basta.