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Aula 408 — Multiplicação de vetor por escalar

50 min
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Objetivo geral

Multiplicar um vetor por um número real, reconhecendo que um escalar negativo inverte o sentido, não só o módulo.

Objetivos específicos

  • Definir a multiplicação de vetor por escalar: k·v tem módulo |k|·|v|, mesma direção de v.
  • Reconhecer que k>0 mantém o sentido de v; k<0 inverte o sentido.
  • Calcular k·v algebricamente, multiplicando cada componente por k.
  • Reconhecer o vetor oposto (-v) como caso particular de multiplicação por escalar (k=-1).

Conhecimentos prévios

  • Vetor nulo e vetor oposto, Aula 403.
  • Números negativos, Módulo 1.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula408_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: multiplicar um vetor por -2 só faz ele ficar duas vezes maior, ou algo mais muda?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever v=(1,2) e -2v no quadro, perguntando se só o "tamanho" muda. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que multiplicar por um escalar negativo só aumenta ou diminui o módulo, mantendo o sentido — um escalar NEGATIVO sempre inverte o SENTIDO do vetor, além de mudar o módulo pelo valor absoluto do escalar.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: k·v tem módulo |k|×|v|, mesma direção de v; se k>0, mesmo sentido de v; se k<0, sentido invertido. Algebricamente, k·(a,b)=(ka,kb). O vetor oposto -v é o caso particular k=-1 (mesmo módulo, sentido invertido). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não só o tamanho — -2v tem módulo 2× o de v, MAS também sentido invertido (aponta para o lado oposto de v).

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: para v=(1,2), calcular coletivamente 3v=(3,6) (mesmo sentido, módulo triplicado) e -2v=(-2,-4) (sentido invertido, módulo dobrado). Em duplas: calcular (1/2)v=(1/2,1) e confirmar que tem metade do módulo de v, mesmo sentido.

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — um escalar negativo muda o módulo E inverte o sentido; um escalar positivo só muda o módulo, mantendo o sentido.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Para v=(1,2), calcule 3v.

Gabarito: 3v=(3,6).

2. Para v=(1,2), calcule -2v.

Gabarito: -2v=(-2,-4).

3. O vetor -2v tem o mesmo sentido de v?

Gabarito: Não — o escalar negativo inverte o sentido.

4. O vetor oposto -v é um caso particular de multiplicação por qual escalar?

Gabarito: k=-1.

5. Encontre o erro: "multiplicar um vetor por -2 só dobra o tamanho, sem mudar mais nada."

Gabarito: Errado: além de dobrar o módulo, o escalar negativo também inverte o sentido do vetor.

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