Aula 409 — Colinearidade de vetores
50 minObjetivo geral
Verificar se dois vetores são colineares (paralelos), reconhecendo que colinear não implica mesmo sentido.
Objetivos específicos
- Definir vetores colineares: um é múltiplo escalar do outro (v=k·u, para algum k real).
- Verificar colinearidade comparando a razão entre componentes correspondentes.
- Reconhecer que vetores colineares podem ter o MESMO sentido (k>0) ou sentidos OPOSTOS (k<0).
- Diferenciar vetores colineares de vetores apenas com o mesmo módulo (que podem não ser paralelos).
Conhecimentos prévios
- Multiplicação de vetor por escalar, Aula 408.
- Retas paralelas, Módulo 22, Aula 331.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula409_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: dois vetores colineares (paralelos) sempre apontam para o mesmo lado?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoDesenhar u=(2,4) e v=(-4,-8) (colineares, sentidos opostos) e perguntar se são colineares. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que "colinear" significa "mesmo sentido" — colinearidade exige só que um vetor seja múltiplo escalar do outro (v=k·u); k pode ser negativo, dando sentidos opostos, e os vetores continuam colineares (mesma direção).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: u e v são colineares se v=k·u para algum escalar real k (incluindo k negativo). Para verificar, compara-se a razão entre componentes correspondentes: se (c/a)=(d/b) para u=(a,b) e v=(c,d), são colineares. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — v=(-4,-8)=-2×(2,4)=-2u, então u e v SÃO colineares (mesma direção), mas com sentidos opostos (k=-2 é negativo).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que u=(2,4) e v=(-4,-8) são colineares (v=-2u). Em duplas: verificar se u=(1,3) e w=(2,5) são colineares (não — 2/1=2 mas 5/3≠2, razões diferentes).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — colinear significa mesma direção, mas o sentido pode ser igual (k>0) ou oposto (k<0); os dois casos são colineares.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quando dois vetores u e v são colineares?
Gabarito: Quando v=k·u para algum escalar real k (v é múltiplo escalar de u).
2. u=(2,4) e v=(-4,-8) são colineares?
Gabarito: Sim — v=-2u, então são colineares, com sentidos opostos (k=-2 negativo).
3. u=(1,3) e w=(2,5) são colineares?
Gabarito: Não — 2/1=2 mas 5/3≠2, as razões entre componentes correspondentes são diferentes.
4. Vetores colineares com k negativo têm o mesmo sentido ou sentidos opostos?
Gabarito: Sentidos opostos.
5. Encontre o erro: "vetores colineares sempre apontam para o mesmo lado."
Gabarito: Errado: colinear significa mesma direção; o sentido pode ser igual OU oposto, dependendo do sinal do escalar k.