Aula 415 — Projeção ortogonal
50 minObjetivo geral
Calcular a projeção ortogonal de um vetor sobre outro, diferenciando a projeção escalar (número) da projeção vetorial (vetor).
Objetivos específicos
- Definir a projeção escalar de u sobre v: compv(u) = (u·v)/|v| (um número).
- Definir a projeção vetorial de u sobre v: projv(u) = [(u·v)/(v·v)]·v (um vetor, na direção de v).
- Calcular a projeção escalar e vetorial de um vetor sobre outro dado.
- Diferenciar claramente o resultado numérico (projeção escalar) do resultado vetorial (projeção vetorial).
Conhecimentos prévios
- Produto escalar, Aula 412.
- Ortogonalidade, Aula 414.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula415_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a "projeção de u sobre v" é um número ou um vetor?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever "projeção de u sobre v" no quadro e perguntar qual o tipo do resultado, sem especificar se é escalar ou vetorial. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir os dois tipos de projeção — a projeção ESCALAR (compv(u)) é um número (o "tamanho" da sombra de u na direção de v); a projeção VETORIAL (projv(u)) é um vetor (a própria sombra, com direção de v); são conceitos relacionados, mas de natureza diferente.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a projeção escalar compv(u)=(u·v)/|v| é um NÚMERO (pode ser negativo, se o ângulo for obtuso). A projeção vetorial projv(u)=[(u·v)/(v·v)]·v é um VETOR, na mesma direção de v, representando a "sombra" de u projetada sobre v. Resolvendo a pergunta do Momento 2: depende de qual das duas — a escalar é um número, a vetorial é um vetor; "a projeção" sem especificar é ambíguo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para u=(3,4) e v=(1,0), calcular coletivamente a projeção escalar compv(u)=(3×1+4×0)/1=3. Em duplas: calcular a projeção vetorial projv(u)=[(3)/(1)]×(1,0)=(3,0).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: depende — a projeção ESCALAR é um número; a projeção VETORIAL é um vetor; são dois conceitos relacionados, mas com resultados de naturezas diferentes.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula da projeção escalar de u sobre v.
Gabarito: compv(u) = (u·v)/|v|.
2. Escreva a fórmula da projeção vetorial de u sobre v.
Gabarito: projv(u) = [(u·v)/(v·v)]·v.
3. Para u=(3,4) e v=(1,0), calcule a projeção escalar de u sobre v.
Gabarito: compv(u)=(3×1+4×0)/1=3.
4. Para o mesmo u e v, calcule a projeção vetorial.
Gabarito: projv(u)=(3/1)×(1,0)=(3,0).
5. Encontre o erro: "a projeção escalar e a projeção vetorial são a mesma coisa, um vetor."
Gabarito: Errado: a projeção escalar é um NÚMERO; só a projeção vetorial é um vetor.