Aula 416 — Produto vetorial
50 minObjetivo geral
Calcular o produto vetorial entre dois vetores 3D, reconhecendo que NÃO é comutativo (u×v≠v×u).
Objetivos específicos
- Definir o produto vetorial u×v: um vetor perpendicular a u e a v simultaneamente (regra da mão direita para o sentido).
- Calcular u×v usando a fórmula do determinante com os vetores unitários i, j, k.
- Reconhecer que u×v = -(v×u) — o produto vetorial é ANTIcomutativo, não comutativo.
- Reconhecer que u×v é o vetor nulo se, e somente se, u e v forem colineares.
Conhecimentos prévios
- Produto escalar, Aula 412.
- Colinearidade de vetores, Aula 409.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula416_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar e manipular vetores.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: u×v é igual a v×u, como acontece no produto escalar (u·v=v·u)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever u·v=v·u (verdadeiro) no quadro e perguntar se a mesma propriedade vale para u×v. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): estender por analogia a comutatividade do produto escalar para o produto vetorial — o produto VETORIAL não é comutativo: trocar a ordem inverte o SENTIDO do vetor resultado (u×v=-(v×u)), diferente do produto escalar, que é sempre comutativo.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: u×v é um vetor perpendicular a u e a v, com sentido dado pela regra da mão direita, e módulo |u×v|=|u||v|sen(θ). Calcula-se pelo determinante simbólico com i,j,k. Crucialmente, u×v=-(v×u) — trocar a ordem inverte o sentido do resultado (anticomutatividade). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — diferente do produto escalar, u×v e v×u são vetores OPOSTOS, não iguais.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente i×j (=k, pela regra da mão direita) e depois j×i (=-k, sentido oposto), confirmando a anticomutatividade. Em duplas: para u=(1,0,0) e v=(0,1,0), calcular u×v=(0,0,1) e v×u=(0,0,-1).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — u×v=-(v×u); o produto vetorial é anticomutativo, trocar a ordem inverte o sentido do vetor resultado.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. O que caracteriza geometricamente o vetor u×v?
Gabarito: É perpendicular a u e a v simultaneamente, com sentido dado pela regra da mão direita.
2. u×v é igual a v×u?
Gabarito: Não — u×v=-(v×u); o produto vetorial é anticomutativo.
3. Calcule i×j e j×i.
Gabarito: i×j=k; j×i=-k.
4. Quando u×v é o vetor nulo?
Gabarito: Quando u e v são colineares (paralelos).
5. Encontre o erro: "u×v=v×u, como no produto escalar."
Gabarito: Errado: o produto vetorial é anticomutativo (u×v=-(v×u)), diferente do produto escalar, que é comutativo.