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Aula 421 — Distância entre dois pontos

50 min
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Objetivo geral

Calcular a distância entre dois pontos do plano usando o Teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas.

Objetivos específicos

  • Deduzir a fórmula da distância: d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2), a partir do Teorema de Pitágoras.
  • Calcular a distância entre dois pontos dados.
  • Reconhecer que a ordem da subtração (x2-x1 ou x1-x2) não importa, pois o resultado é elevado ao quadrado.
  • Visualizar o triângulo retângulo formado pelas diferenças Δx e Δy entre os pontos.

Conhecimentos prévios

  • Teorema de Pitágoras, Módulo 22, Aula 341.
  • Sistema cartesiano e coordenadas, Aula 420.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula421_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: para calcular a distância entre dois pontos, faz diferença se eu calcular (x2-x1) ou (x1-x2)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever A=(1,2) e B=(4,6) no quadro e propor calcular a distância de duas formas: (x2-x1) e (x1-x2). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a ordem da subtração muda o resultado final da distância — como a diferença é elevada ao QUADRADO na fórmula, o sinal desaparece; (x2-x1)2 é sempre igual a (x1-x2)2.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a distância entre A=(x1,y1) e B=(x2,y2) é d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2) — o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo formado pelas diferenças Δx e Δy. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não faz diferença — o quadrado elimina o sinal, então (x2-x1)2=(x1-x2)2 sempre.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente a distância entre A=(1,2) e B=(4,6): d=√((4-1)2+(6-2)2)=√(9+16)=√25=5. Em duplas: calcular a distância entre C=(0,0) e D=(3,4) (=5, mesmo padrão 3-4-5).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não faz diferença — a diferença elevada ao quadrado sempre dá o mesmo resultado, não importa a ordem da subtração.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a fórmula da distância entre dois pontos.

Gabarito: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2).

2. Calcule a distância entre A=(1,2) e B=(4,6).

Gabarito: d=√((4-1)2+(6-2)2)=√(9+16)=√25=5.

3. Calcule a distância entre C=(0,0) e D=(3,4).

Gabarito: d=√(9+16)=5.

4. De onde vem a fórmula da distância entre pontos?

Gabarito: Do Teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo retângulo formado pelas diferenças Δx e Δy entre os pontos.

5. Encontre o erro: "calcular (x1-x2) em vez de (x2-x1) muda o resultado final da distância."

Gabarito: Errado: como a diferença é elevada ao quadrado na fórmula, o sinal desaparece e o resultado é o mesmo.

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