← Módulo

Aula 423 — Divisão de segmento em uma razão dada

50 min
Baixar plano de aula (.docx)Abrir apresentação (.pptx)

Objetivo geral

Calcular as coordenadas do ponto que divide um segmento numa razão dada, generalizando a fórmula do ponto médio.

Objetivos específicos

  • Enunciar a fórmula: P que divide AB na razão r=AP/PB tem coordenadas P=((x1+r·x2)/(1+r), (y1+r·y2)/(1+r)).
  • Calcular o ponto de divisão dado A, B e a razão r.
  • Reconhecer o ponto médio como caso particular com r=1.
  • Diferenciar a razão AP/PB (razão pedida) de PB/AP (razão invertida), que dão pontos diferentes.

Conhecimentos prévios

  • Ponto médio de um segmento, Aula 422.
  • Razão e proporção, Módulo 3.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula423_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: se a razão AP/PB=2, o ponto P fica mais perto de A ou de B?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Desenhar o segmento AB e propor marcar um ponto P "na razão 2" sem explicar o que isso significa geometricamente. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir a razão AP/PB=2 (P está duas vezes mais longe de A do que de B, logo mais PERTO de B) com o inverso — é fácil trocar qual segmento vai no numerador e qual vai no denominador, invertendo a posição do ponto.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: P que divide AB na razão r=AP/PB tem coordenadas P=((x1+r·x2)/(1+r), (y1+r·y2)/(1+r)); com r=1, essa fórmula vira exatamente o ponto médio (caso particular). Resolvendo a pergunta do Momento 2: mais perto de B — se AP é o dobro de PB, o trecho de P até B é menor, então P está mais próximo de B.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: para A=(0,0) e B=(9,0) com r=2 (AP/PB=2), calcular coletivamente P=((0+2×9)/(1+2), 0)=(6,0) — de fato mais perto de B (distância 3) que de A (distância 6). Em duplas: para A=(0,0) e B=(6,0), calcular o ponto médio usando essa mesma fórmula com r=1 (deve dar (3,0)).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: mais perto de B — razão AP/PB=2 significa que o trecho AP é maior, deixando P mais próximo de B.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a fórmula do ponto que divide AB na razão r=AP/PB.

Gabarito: P = ((x1+r·x2)/(1+r), (y1+r·y2)/(1+r)).

2. Para A=(0,0), B=(9,0), r=2, calcule P.

Gabarito: P=((0+2×9)/3, 0)=(6,0).

3. Com r=1, a fórmula da divisão de segmento vira qual fórmula já conhecida?

Gabarito: A fórmula do ponto médio.

4. Se AP/PB=2, P fica mais perto de A ou de B?

Gabarito: Mais perto de B, pois o trecho AP é maior que PB.

5. Encontre o erro: "a razão AP/PB=2 significa que P está mais perto de A."

Gabarito: Errado: AP/PB=2 significa que AP é o dobro de PB, deixando P mais perto de B, não de A.

← Aula 422Aula 424 →