Aula 425 — Equação geral da reta
50 minObjetivo geral
Determinar a equação geral de uma reta (ax+by+c=0) a partir de dois pontos, reconhecendo que ela não é única.
Objetivos específicos
- Deduzir a equação geral ax+by+c=0 a partir de dois pontos dados.
- Verificar se um ponto pertence a uma reta, substituindo suas coordenadas na equação.
- Reconhecer que multiplicar toda a equação por uma constante não nula dá outra equação da MESMA reta.
- Identificar o vetor normal (a,b) à reta a partir de sua equação geral.
Conhecimentos prévios
- Distância entre dois pontos, Aula 421.
- Produto escalar, Módulo 25, Aula 412.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula425_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: 4x-3y+2=0 e 8x-6y+4=0 são equações de retas diferentes, ou da mesma reta?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever as duas equações lado a lado e perguntar se representam retas diferentes. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que cada reta tem uma ÚNICA equação geral — a equação geral não é única; multiplicar TODOS os coeficientes (a,b,c) por uma mesma constante não nula dá uma equação diferente na aparência, mas que representa exatamente a MESMA reta.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a equação geral ax+by+c=0 é obtida a partir de dois pontos (ou um ponto e a direção). O vetor (a,b) é sempre NORMAL (perpendicular) à reta. Resolvendo a pergunta do Momento 2: são a mesma reta — 8x-6y+4=0 é exatamente 4x-3y+2=0 multiplicada por 2; qualquer múltiplo não nulo representa a mesma reta.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: encontrar coletivamente a equação geral da reta por A=(1,2) e B=(4,6) (direção (3,4), normal (4,-3): 4x-3y+2=0, conferido com A: 4-6+2=0 ✓). Em duplas: verificar se o ponto (7,10) pertence a essa reta (4×7-3×10+2=28-30+2=0 ✓, pertence).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: são a mesma reta — a equação geral não é única, qualquer múltiplo não nulo dos coeficientes representa a mesma reta.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual a forma geral da equação de uma reta?
Gabarito: ax+by+c=0.
2. 4x-3y+2=0 e 8x-6y+4=0 são a mesma reta?
Gabarito: Sim — a segunda é a primeira multiplicada por 2.
3. Qual vetor é sempre perpendicular a uma reta ax+by+c=0?
Gabarito: O vetor (a,b), chamado vetor normal.
4. O ponto (7,10) pertence à reta 4x-3y+2=0?
Gabarito: Sim — 4×7-3×10+2=28-30+2=0.
5. Encontre o erro: "cada reta tem uma única equação geral possível."
Gabarito: Errado: qualquer múltiplo não nulo dos coeficientes (a,b,c) representa a mesma reta — a equação geral não é única.