Aula 436 — Posições relativas entre duas circunferências
50 minObjetivo geral
Classificar a posição relativa entre duas circunferências comparando a distância entre os centros com a soma e a diferença dos raios.
Objetivos específicos
- Calcular a distância entre os centros de duas circunferências.
- Classificar usando d versus r1+r2 e |r1-r2|: externas, tangentes externas, secantes, tangentes internas, ou uma dentro da outra.
- Aplicar a classificação a exemplos concretos.
- Reconhecer que esquecer o caso da tangência INTERNA é o erro mais comum, por ser menos intuitivo que a externa.
Conhecimentos prévios
- Posições relativas entre reta e circunferência, Aula 435.
- Distância entre dois pontos, Aula 421.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula436_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: quantas posições relativas diferentes duas circunferências podem ter entre si?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoDesenhar duas circunferências tangentes, uma por dentro da outra (tangência interna), e perguntar se os alunos reconhecem esse caso como uma categoria válida. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): lembrar só dos casos mais intuitivos (externas, secantes, uma dentro da outra sem se tocar) e esquecer a TANGÊNCIA INTERNA (d=|r1-r2|, uma circunferência menor tocando a maior por dentro, num único ponto) — um caso menos visualizado, mas igualmente válido.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: comparando d (distância entre centros) com r1+r2 e |r1-r2|: d>r1+r2 (externas, sem pontos comuns); d=r1+r2 (tangentes externas, 1 ponto); |r1-r2|<d<r1+r2 (secantes, 2 pontos); d=|r1-r2| (tangentes internas, 1 ponto); d<|r1-r2| (uma dentro da outra, sem se tocar). Resolvendo a pergunta do Momento 2: cinco posições possíveis, incluindo a tangência interna, frequentemente esquecida.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: classificar coletivamente duas circunferências de centros a 6 unidades de distância, raios 5 e 3 (r1+r2=8, |r1-r2|=2; como 2<6<8, são SECANTES). Em duplas: classificar centros a 2 unidades de distância, raios 5 e 3 (d=2=|r1-r2|, TANGENTES INTERNAS).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: cinco posições possíveis — externas, tangentes externas, secantes, tangentes internas (a mais esquecida) e uma dentro da outra sem se tocar.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quando duas circunferências são externas (sem pontos comuns)?
Gabarito: Quando d>r1+r2 (distância entre centros maior que a soma dos raios).
2. Quando duas circunferências são secantes (2 pontos comuns)?
Gabarito: Quando |r1-r2|<d<r1+r2.
3. Duas circunferências com centros a 6 de distância e raios 5 e 3: qual a posição relativa?
Gabarito: Secantes — |5-3|=2<6<8=5+3.
4. Duas circunferências com centros a 2 de distância e raios 5 e 3: qual a posição relativa?
Gabarito: Tangentes internas — d=2=|5-3|.
5. Encontre o erro: "as únicas posições possíveis entre duas circunferências são externas, secantes e uma dentro da outra."
Gabarito: Errado: faltam as tangências (externa e interna) — cinco posições ao todo, não três.