Aula 435 — Posições relativas entre reta e circunferência
50 minObjetivo geral
Classificar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência comparando a distância do centro à reta com o raio.
Objetivos específicos
- Calcular a distância do centro da circunferência à reta.
- Classificar: d<r (reta secante, dois pontos em comum); d=r (reta tangente, um ponto); d>r (reta externa, nenhum ponto).
- Aplicar a classificação a exemplos concretos.
- Reconhecer que tangência (d=r) é um caso-limite entre secante e externa, não uma categoria arbitrária.
Conhecimentos prévios
- Distância de ponto a reta, Aula 432.
- Circunferência: equação reduzida, Aula 433.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula435_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra Geometry e Desmos Graphing Calculator, para visualizar pontos, retas e circunferências.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: como decidir, sem desenhar, se uma reta corta, toca ou não toca uma circunferência?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a circunferência de centro (2,3) e raio 5 e a reta x=7, perguntando como decidir a posição relativa sem desenhar. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar decidir "no olho", por estimativa visual, sem calcular a distância do centro à reta — a decisão precisa e sistemática vem de comparar essa distância com o raio: d<r (secante), d=r (tangente), d>r (externa).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: calcula-se d, a distância do centro da circunferência à reta. Se d<r, a reta é SECANTE (corta em 2 pontos); se d=r, é TANGENTE (toca em 1 ponto); se d>r, é EXTERNA (não toca). Resolvendo a pergunta do Momento 2: para centro (2,3), raio 5, reta x=7: d=|2-7|=5=r, então a reta é TANGENTE à circunferência.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: classificar coletivamente a reta x=0 em relação à mesma circunferência (centro (2,3), raio 5): d=|2-0|=2<5, SECANTE. Em duplas: classificar a reta x=10 (d=|2-10|=8>5, EXTERNA).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: comparando a distância do centro à reta com o raio — nunca por estimativa visual, sempre pelo cálculo de d versus r.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quando uma reta é secante a uma circunferência?
Gabarito: Quando a distância do centro à reta é menor que o raio (d<r) — corta em dois pontos.
2. Quando uma reta é tangente a uma circunferência?
Gabarito: Quando d=r — toca em exatamente um ponto.
3. Para centro (2,3), raio 5, classifique a reta x=7.
Gabarito: d=|2-7|=5=r — tangente.
4. Para a mesma circunferência, classifique a reta x=0.
Gabarito: d=|2-0|=2<5 — secante.
5. Encontre o erro: "dá pra saber se uma reta é secante ou externa só de olhar o desenho, sem calcular nada."
Gabarito: Errado: a classificação precisa vem de comparar a distância do centro à reta com o raio — estimativa visual pode enganar em casos próximos da tangência.