Aula 445 — Equação geral das cônicas
50 minObjetivo geral
Identificar qual cônica uma equação geral Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 representa, comparando os coeficientes A e C.
Objetivos específicos
- Reconhecer a forma geral (sem termo xy, eixos paralelos aos cartesianos): Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0.
- Classificar: A=C (circunferência); A e C mesmo sinal, valores diferentes (elipse); A e C sinais opostos (hipérbole); A=0 ou C=0 (parábola).
- Completar quadrados para converter a forma geral na forma reduzida (padrão) e identificar centro/vértice.
- Reconhecer que essa classificação exige ausência do termo xy (cônica com eixos alinhados aos cartesianos).
Conhecimentos prévios
- Circunferência: equação geral, Módulo 26, Aula 434.
- Equação geral das cônicas — translação de eixos, Aula 444.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula445_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator (cônicas), para visualizar parábolas, elipses e hipérboles.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: dá pra saber se uma equação Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 é uma elipse ou uma hipérbole só olhando os sinais de A e C, antes de completar quadrados?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever duas equações gerais (uma com A e C de mesmo sinal, outra com sinais opostos) e perguntar se dá pra classificar sem calcular tudo. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que só completando todos os quadrados dá pra saber o tipo de cônica — o SINAL relativo de A e C já revela o tipo antes de qualquer conta: mesmo sinal (A=C: círculo; A≠C: elipse), sinais opostos (hipérbole), um dos dois zero (parábola).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: em Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (sem termo xy): A=C dá circunferência; A e C mesmo sinal mas diferentes dá elipse; A e C sinais opostos dá hipérbole; A=0 ou C=0 (só um dos quadráticos presente) dá parábola. Resolvendo a pergunta do Momento 2: sim — o sinal relativo de A e C já classifica o tipo, antes de completar qualquer quadrado.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: classificar coletivamente 4x2+9y2-16x-18y-11=0 (A=4, C=9, mesmo sinal, diferentes: elipse). Em duplas: classificar 4x2-9y2-16x-18y-29=0 (A=4, C=-9, sinais opostos: hipérbole).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — o sinal relativo de A e C já revela o tipo de cônica, antes de completar qualquer quadrado.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Se A=C na equação geral (sem termo xy), que cônica é essa?
Gabarito: Uma circunferência.
2. Se A e C têm sinais opostos, que cônica é essa?
Gabarito: Uma hipérbole.
3. Classifique 4x2+9y2-16x-18y-11=0.
Gabarito: Elipse — A=4 e C=9, mesmo sinal, valores diferentes.
4. Classifique 4x2-9y2-16x-18y-29=0.
Gabarito: Hipérbole — A=4 e C=-9, sinais opostos.
5. Encontre o erro: "só dá pra saber o tipo de cônica depois de completar todos os quadrados."
Gabarito: Errado: o sinal relativo de A e C já classifica o tipo, sem precisar completar quadrado nenhum.