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Aula 444 — Translação de eixos

50 min
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Objetivo geral

Escrever a equação de uma cônica com centro (ou vértice) fora da origem, usando translação de eixos.

Objetivos específicos

  • Aplicar a substituição x'=x-h, y'=y-k para transladar o centro (ou vértice) de (0,0) para (h,k).
  • Escrever a equação de uma elipse (ou hipérbole) com centro (h,k): (x-h)2/a2+(y-k)2/b2=1.
  • Reconhecer que o sinal dentro dos parênteses é o OPOSTO do centro (mesma lógica da circunferência, Módulo 26).
  • Identificar o centro de uma cônica a partir de sua equação transladada.

Conhecimentos prévios

  • Circunferência: equação reduzida, Módulo 26, Aula 433.
  • Equação da elipse, Aula 440.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula444_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Desmos Graphing Calculator (cônicas), para visualizar parábolas, elipses e hipérboles.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: em (x-3)2/25+(y-2)2/9=1, o centro da elipse é (3,2) ou (-3,-2)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever a equação no quadro e propor as duas respostas para o centro, sem dizer qual é certa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): ler os números com o sinal que aparece na equação (achando centro (-3,-2)) — mesma armadilha já vista na circunferência (Módulo 26, Aula 433): a equação SUBTRAI as coordenadas do centro, então (x-3) corresponde a h=+3, não -3.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: transladando os eixos com x'=x-h, y'=y-k, a equação de uma elipse (ou hipérbole) centrada em (h,k) fica (x-h)2/a2+(y-k)2/b2=1 — o sinal dentro dos parênteses é sempre o OPOSTO do centro, igual à lógica já vista na circunferência. Resolvendo a pergunta do Momento 2: o centro é (3,2) — (x-3) corresponde a h=3, (y-2) corresponde a k=2.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: identificar coletivamente o centro de (x-3)2/25+(y-2)2/9=1 (centro (3,2), a=5, b=3). Em duplas: escrever a equação de uma elipse com centro (-1,4), a=5, b=4 ((x+1)2/25+(y-4)2/16=1, pois x+1=x-(-1)).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: o centro é (3,2) — o sinal dentro dos parênteses é sempre o oposto do centro, mesma lógica já vista na equação da circunferência.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a equação de uma elipse com centro (h,k).

Gabarito: (x-h)2/a2 + (y-k)2/b2 = 1.

2. Identifique o centro de (x-3)2/25+(y-2)2/9=1.

Gabarito: Centro (3,2).

3. Escreva a equação de uma elipse com centro (-1,4), a=5, b=4.

Gabarito: (x+1)2/25+(y-4)2/16=1 [pois x+1=x-(-1)].

4. Por que o sinal dentro dos parênteses é o oposto do centro?

Gabarito: Porque a equação SUBTRAI as coordenadas do centro (translação), mesma lógica já vista na equação da circunferência.

5. Encontre o erro: "em (x-3)2/25+(y-2)2/9=1, o centro é (-3,-2)."

Gabarito: Errado: o centro é (3,2) — o sinal dentro dos parênteses é o oposto do sinal do centro.

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