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Aula 448 — Distância entre pontos no espaço

50 min
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Objetivo geral

Calcular a distância entre dois pontos no espaço, generalizando a fórmula do plano com o acréscimo do termo em z.

Objetivos específicos

  • Generalizar a fórmula: d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2).
  • Calcular a distância entre dois pontos dados no espaço.
  • Reconhecer a fórmula 3D como extensão direta do Teorema de Pitágoras aplicado duas vezes.
  • Identificar o erro comum de esquecer o termo em z ao vir do plano (2D) para o espaço (3D).

Conhecimentos prévios

  • Distância entre dois pontos, Módulo 26, Aula 421.
  • Distância entre dois pontos, Módulo 25, Aula 421 (revisão vetorial).

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula448_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra 3D Calculator, para visualizar pontos, retas e planos no espaço.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: para calcular a distância entre dois pontos no espaço, basta usar a mesma fórmula do plano (só com x e y)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever a fórmula do plano (d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)) e propor usá-la para dois pontos que só diferem na coordenada z. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer o termo em z, aplicando a fórmula do plano diretamente no espaço — pontos que só diferem em z teriam distância ZERO pela fórmula 2D, o que está claramente errado; é preciso acrescentar o termo (z2-z1)2 à soma.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: d=√((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2) — a extensão direta do Teorema de Pitágoras, aplicado uma vez no plano xy e outra vez incluindo a altura z. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — é preciso acrescentar o termo (z2-z1)2, senão pontos que só diferem em z teriam distância (incorretamente) igual a zero.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente a distância entre A=(1,2,3) e B=(4,6,15): d=√((4-1)2+(6-2)2+(15-3)2)=√(9+16+144)=√169=13. Em duplas: calcular a distância entre C=(0,0,0) e D=(1,2,2) (d=√(1+4+4)=√9=3).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — falta o termo em z; sem ele, pontos que só diferem em altura pareceriam estar na mesma posição.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Escreva a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Gabarito: d = √((x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2).

2. Calcule a distância entre A=(1,2,3) e B=(4,6,15).

Gabarito: d=√(9+16+144)=√169=13.

3. Calcule a distância entre C=(0,0,0) e D=(1,2,2).

Gabarito: d=√(1+4+4)=√9=3.

4. Por que a fórmula 2D não serve para pontos no espaço?

Gabarito: Porque ignora a diferença na coordenada z — pontos que só diferem em altura pareceriam ter distância zero.

5. Encontre o erro: "a distância no espaço usa a mesma fórmula do plano, só com x e y."

Gabarito: Errado: é preciso acrescentar o termo (z2-z1)2 — sem ele, a fórmula ignora a diferença de altura entre os pontos.

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