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Aula 454 — Equação do plano

50 min
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Objetivo geral

Determinar a equação de um plano a partir de três pontos não colineares, usando o produto vetorial para achar o vetor normal.

Objetivos específicos

  • Formar dois vetores do plano a partir de três pontos não colineares dados.
  • Calcular o vetor normal ao plano pelo produto vetorial desses dois vetores.
  • Escrever a equação geral do plano: ax+by+cz+d=0, usando o vetor normal (a,b,c) e um dos pontos.
  • Verificar se um ponto pertence ao plano, substituindo suas coordenadas na equação.

Conhecimentos prévios

  • Produto vetorial, Módulo 25, Aula 416.
  • Equação geral da reta, Módulo 26, Aula 425 (analogia 2D).

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula454_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • GeoGebra 3D Calculator, para visualizar pontos, retas e planos no espaço.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: dados três pontos não colineares, como encontrar um vetor perpendicular ao plano que eles formam?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Relembrar que o produto vetorial de dois vetores é perpendicular a ambos (Módulo 25) e perguntar como aplicar essa ideia a um plano definido por três pontos. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): não perceber a ponte entre o produto vetorial (já estudado) e a equação do plano — formando dois vetores DENTRO do plano (a partir dos três pontos), o produto vetorial desses dois vetores dá exatamente o vetor NORMAL ao plano, pois é perpendicular a ambos simultaneamente.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: dados A, B, C não colineares, formam-se u=B-A e v=C-A (vetores no plano); o vetor normal é n=u×v. A equação do plano é a(x-xA)+b(y-yA)+c(z-zA)=0, onde (a,b,c)=n. Resolvendo a pergunta do Momento 2: o produto vetorial dos dois vetores formados pelos três pontos dá exatamente o vetor normal ao plano.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: para A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), calcular coletivamente u=(1,0,0), v=(0,1,0), n=u×v=(0,0,1) — o plano é z=0 (o plano xy, como esperado). Em duplas: verificar se o ponto (5,3,0) pertence a esse plano (sim, z=0).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: o produto vetorial dos dois vetores formados pelos três pontos dá exatamente o vetor normal ao plano — a mesma ferramenta do Módulo 25, aplicada de um jeito novo.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Como se obtêm dois vetores contidos no plano a partir de três pontos A, B, C?

Gabarito: u=B-A e v=C-A.

2. Como se calcula o vetor normal ao plano a partir de u e v?

Gabarito: n = u × v (produto vetorial).

3. Para A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), qual a equação do plano?

Gabarito: n=(0,0,1); plano z=0 (o plano xy).

4. O ponto (5,3,0) pertence a esse plano?

Gabarito: Sim — sua coordenada z é 0.

5. Encontre o erro: "não há relação entre o produto vetorial (Módulo 25) e a equação de um plano."

Gabarito: Errado: o produto vetorial de dois vetores do plano dá exatamente o vetor normal usado na equação do plano.

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