Aula 455 — Posições relativas entre reta e plano
50 minObjetivo geral
Classificar analiticamente a posição relativa entre uma reta e um plano, usando o produto escalar entre o vetor diretor e o vetor normal.
Objetivos específicos
- Calcular v·n (vetor diretor da reta vs. vetor normal do plano).
- Se v·n≠0, a reta é SECANTE ao plano (fura em um único ponto).
- Se v·n=0, a reta é paralela ao plano OU está contida nele — verificar substituindo um ponto da reta na equação do plano.
- Relacionar essa classificação analítica com a classificação geométrica já vista no Módulo 23.
Conhecimentos prévios
- Posições relativas entre reta e plano, Módulo 23, Aula 357.
- Ortogonalidade, Módulo 25, Aula 414.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula455_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar pontos, retas e planos no espaço.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se v·n=0 (vetor diretor perpendicular ao vetor normal), a reta é sempre paralela ao plano, sem tocá-lo?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever v·n=0 no quadro e perguntar se isso já garante que a reta é paralela e distinta do plano. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que v·n=0 já decide tudo — v·n=0 só garante que a reta não FURA o plano; mas a reta pode estar CONTIDA nele (não só paralela e distinta); é preciso testar se um ponto da reta satisfaz a equação do plano para decidir entre os dois casos.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: v·n≠0 → reta secante (fura o plano num único ponto). v·n=0 → reta paralela ao plano OU contida nele; testa-se um ponto da reta na equação do plano: se satisfizer, está contida; se não satisfizer, é paralela distinta. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não sempre — v·n=0 não decide entre paralela e contida; falta testar um ponto da reta na equação do plano.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: para a reta (x,y,z)=(0,0,5)+t(1,1,0) e o plano z=0 (normal (0,0,1)), calcular coletivamente v·n=(1)(0)+(1)(0)+(0)(1)=0 e testar o ponto (0,0,5) no plano (5≠0, não satisfaz) — reta paralela distinta. Em duplas: para a reta (x,y,z)=(0,0,0)+t(1,1,0) e o mesmo plano z=0, calcular v·n=0 e testar (0,0,0) no plano (0=0, satisfaz) — reta contida no plano.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não sempre — v·n=0 exclui só a secância; ainda é preciso testar um ponto da reta na equação do plano para decidir entre paralela distinta e contida.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quando uma reta é secante a um plano?
Gabarito: Quando v·n≠0 (vetor diretor e vetor normal não são perpendiculares).
2. Quando v·n=0, o que ainda falta verificar?
Gabarito: Se um ponto da reta satisfaz a equação do plano — se sim, contida; se não, paralela distinta.
3. Para v=(1,1,0), n=(0,0,1), calcule v·n.
Gabarito: v·n=(1)(0)+(1)(0)+(0)(1)=0.
4. A reta (x,y,z)=(0,0,5)+t(1,1,0) está contida no plano z=0?
Gabarito: Não — o ponto (0,0,5) não satisfaz z=0; é paralela distinta.
5. Encontre o erro: "v·n=0 já garante que a reta é paralela e distinta do plano."
Gabarito: Errado: v·n=0 também é compatível com a reta estar CONTIDA no plano — é preciso testar um ponto para decidir.