Aula 457 — Distância de ponto a plano
50 minObjetivo geral
Calcular a distância de um ponto a um plano, reconhecendo a necessidade de normalizar pelo módulo do vetor normal.
Objetivos específicos
- Enunciar a fórmula: d=|a·x0+b·y0+c·z0+d|/√(a2+b2+c2), para o plano ax+by+cz+d=0.
- Calcular a distância de um ponto a um plano dado.
- Reconhecer a fórmula como extensão direta da distância de ponto a reta no plano (Módulo 26).
- Reconhecer que a distância é zero quando o ponto pertence ao plano.
Conhecimentos prévios
- Distância de ponto a reta, Módulo 26, Aula 432.
- Módulo de um vetor, Módulo 25, Aula 410.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula457_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar pontos, retas e planos no espaço.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a fórmula da distância de ponto a plano é parecida com a de ponto a reta do Módulo 26? O que muda?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever lado a lado a fórmula de distância ponto-reta (2D) e propor adaptá-la para ponto-plano (3D), sem mostrar a resposta. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de estender a normalização para três dimensões — a estrutura é a mesma (numerador com as coordenadas substituídas na equação, denominador normalizando pelo módulo do vetor normal), só que agora o vetor normal tem três componentes (a,b,c), não duas.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: d=|a·x0+b·y0+c·z0+d|/√(a2+b2+c2) — exatamente a mesma lógica da distância ponto-reta (Módulo 26, Aula 432), estendida para o vetor normal de três componentes. Resolvendo a pergunta do Momento 2: a estrutura é a mesma; muda só que o vetor normal (a,b,c) e a normalização √(a2+b2+c2) agora têm três termos, não dois.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a distância da origem (0,0,0) ao plano x+2y+2z-9=0: d=|0+0+0-9|/√(1+4+4)=9/3=3. Em duplas: calcular a distância do ponto (1,1,1) ao mesmo plano (d=|1+2+2-9|/3=4/3).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: a estrutura é idêntica à do Módulo 26 — muda só que agora o vetor normal e a normalização têm três componentes, por causa da terceira dimensão.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula da distância de um ponto a um plano.
Gabarito: d = |a·x0+b·y0+c·z0+d| / √(a2+b2+c2).
2. Calcule a distância de (0,0,0) ao plano x+2y+2z-9=0.
Gabarito: d=|0+0+0-9|/√(1+4+4)=9/3=3.
3. Calcule a distância de (1,1,1) ao mesmo plano.
Gabarito: d=|1+2+2-9|/3=4/3.
4. Quando a distância de um ponto a um plano é zero?
Gabarito: Quando o ponto pertence ao plano.
5. Encontre o erro: "a fórmula da distância ponto-plano é completamente diferente da distância ponto-reta."
Gabarito: Errado: é a mesma estrutura (numerador com a equação, denominador normalizando pelo vetor normal), só com uma componente a mais (z).