Aula 456 — Posições relativas entre dois planos
50 minObjetivo geral
Classificar analiticamente a posição relativa entre dois planos, comparando seus vetores normais.
Objetivos específicos
- Verificar se os vetores normais são colineares (planos paralelos ou coincidentes) ou não (planos secantes).
- Se colineares, verificar se os termos independentes são proporcionais na mesma razão (coincidentes) ou não (paralelos distintos).
- Se não colineares, reconhecer que a intersecção é sempre uma reta.
- Relacionar essa classificação analítica com a já vista geometricamente no Módulo 23.
Conhecimentos prévios
- Posições relativas entre planos, Módulo 23, Aula 358.
- Colinearidade de vetores, Módulo 25, Aula 409.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula456_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- GeoGebra 3D Calculator, para visualizar pontos, retas e planos no espaço.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se os vetores normais de dois planos são colineares, os planos são sempre a mesma coisa (coincidentes)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever dois planos com normais colineares mas equações completas diferentes (2x+2y+2z-6=0 e x+y+z-10=0) e perguntar se são o mesmo plano. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que normais colineares já garantem planos coincidentes — normais colineares garantem só que os planos são PARALELOS (mesma orientação); para serem coincidentes, é preciso também que os termos independentes sigam a mesma proporção dos coeficientes — aqui, (2,2,2,-6) não é múltiplo de (1,1,1,-10), são paralelos DISTINTOS.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: normais colineares (n1=k·n2) indicam planos paralelos. Para saber se são coincidentes, verifica-se se TODOS os coeficientes (incluindo o termo independente) seguem a mesma proporção k. Se não, são paralelos distintos. Se as normais não são colineares, os planos são secantes (intersecção é uma reta). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não sempre — normais colineares só garantem paralelismo; (2,2,2,-6) não é 2×(1,1,1,-10) [seria (2,2,2,-20)], então são paralelos distintos, não coincidentes.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que 2x+2y+2z-6=0 e x+y+z-10=0 têm normais colineares (2,2,2)=2×(1,1,1)) mas termos independentes não proporcionais (-6≠2×(-10)=-20) — paralelos distintos. Em duplas: verificar que 2x+2y+2z-6=0 e 4x+4y+4z-12=0 são coincidentes (4,4,4,-12)=2×(2,2,2,-6)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não sempre — normais colineares garantem só paralelismo; para coincidência, os termos independentes também precisam seguir a mesma proporção.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. O que indica que dois planos são paralelos (não necessariamente coincidentes)?
Gabarito: Seus vetores normais serem colineares (um é múltiplo escalar do outro).
2. Além das normais colineares, o que mais é preciso verificar para saber se são coincidentes?
Gabarito: Se o termo independente também segue a mesma proporção dos coeficientes da normal.
3. 2x+2y+2z-6=0 e x+y+z-10=0 são paralelos distintos ou coincidentes?
Gabarito: Paralelos distintos — normais colineares, mas -6≠2×(-10).
4. 2x+2y+2z-6=0 e 4x+4y+4z-12=0 são coincidentes?
Gabarito: Sim — (4,4,4,-12) é exatamente 2×(2,2,2,-6).
5. Encontre o erro: "vetores normais colineares já garantem que os planos são coincidentes."
Gabarito: Errado: normais colineares garantem só paralelismo; coincidência exige também que o termo independente siga a mesma proporção.