Aula 459 — Revisão de intervalos e desigualdades reais
50 minObjetivo geral
Revisar a notação de intervalos e resolver desigualdades polinomiais e racionais por estudo de sinais.
Objetivos específicos
- Revisar a notação de intervalos (abertos, fechados, semiabertos) e sua relação com desigualdades estritas e não estritas.
- Resolver desigualdades do tipo (x-a)(x-b)≥0 usando quadro de sinais.
- Resolver desigualdades racionais do tipo (x-a)/(x-b)>0, atentando para a restrição de domínio no denominador.
- Reconhecer que multiplicar ou dividir uma desigualdade por número negativo inverte o sinal da desigualdade.
Conhecimentos prévios
- Inequações do 1º e 2º grau, Módulo 6.
- Fatoração de expressões algébricas, Módulo 5.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula459_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para resolver (x-2)(x+3)≥0, basta resolver x-2≥0 e x+3≥0 separadamente?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever (x-2)(x+3)≥0 no quadro e perguntar se a solução é simplesmente "x≥2 e x≥-3". Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar uma desigualdade de produto como se fosse duas desigualdades independentes resolvidas por "cada fator ≥0" — um produto de dois fatores é ≥0 quando os DOIS têm o mesmo sinal (ambos ≥0 ou ambos ≤0), não quando cada fator isoladamente satisfaz a desigualdade original.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: notação de intervalo — [a,b] fechado (inclui extremos), (a,b) aberto (exclui extremos), [a,b) e (a,b] semiabertos. Para (x-2)(x+3)≥0: as raízes -3 e 2 dividem a reta em 3 intervalos; testando um ponto de cada (x=-4: produto positivo; x=0: produto negativo; x=3: produto positivo), a solução é x≤-3 ou x≥2, ou seja (-∞,-3]∪[2,+∞). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — o quadro de sinais mostra que o produto muda de sinal a cada raiz, e a solução combina os intervalos onde o sinal é o desejado, não os intervalos de cada fator isoladamente.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente (x-1)/(x+2)>0 (atenção: x=-2 não pode ser raiz do denominador, fica fora do domínio mesmo sendo desigualdade estrita) — quadro de sinais dá x<-2 ou x>1. Em duplas: resolver (x+4)(x-1)≤0 (solução: -4≤x≤1).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — resolver por quadro de sinais, testando um ponto de cada intervalo determinado pelas raízes; "cada fator ≥0" só funcionaria se os fatores fossem somados, não multiplicados.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Resolva (x-2)(x+3)≥0 e escreva a solução em notação de intervalo.
Gabarito: (-∞,-3]∪[2,+∞).
2. Resolva (x-1)/(x+2)>0.
Gabarito: (-∞,-2)∪(1,+∞) — x=-2 excluído por não pertencer ao domínio.
3. Resolva (x+4)(x-1)≤0.
Gabarito: [-4,1].
4. Por que multiplicar os dois lados de uma desigualdade por -1 inverte o sinal?
Gabarito: Porque a multiplicação por número negativo inverte a ordem dos números na reta real — se a<b, então -a>-b.
5. Encontre o erro: "a solução de (x-2)(x+3)≥0 é x≥2 e x≥-3, ou seja x≥2".
Gabarito: Errado: um produto de dois fatores reais é ≥0 quando ambos têm o mesmo sinal, não quando cada um isoladamente é ≥0; a solução correta é x≤-3 ou x≥2, obtida por quadro de sinais.