Aula 467 — Comportamento de funções próximo a um ponto
50 minObjetivo geral
Observar informalmente o valor para o qual f(x) se aproxima quando x se aproxima de um ponto a, mesmo quando f(a) não está definido.
Objetivos específicos
- Calcular numericamente valores de f(x) para x cada vez mais próximo de um ponto a, observando o padrão de aproximação.
- Reconhecer que o "comportamento perto de a" pode existir e ser único mesmo quando f(a) não está definido.
- Relacionar essa observação intuitiva com o conceito formal de limite, a ser estudado no próximo módulo.
Conhecimentos prévios
- Domínio de funções racionais, Aula 461 deste módulo.
- Funções definidas por partes, Aula 466 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula467_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: f(x)=(x2-1)/(x-1) não está definida em x=1 (denominador zero) — isso significa que não é possível dizer nada sobre o comportamento de f perto de x=1?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=(x2-1)/(x-1) no quadro e perguntar se "f não existe em x=1" quer dizer que o comportamento perto de x=1 é imprevisível. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): confundir "a função não está definida no ponto a" com "a função não tem comportamento previsível perto de a" — mesmo sem existir EM x=1, f(x) pode se aproximar de um valor bem definido conforme x se aproxima de 1 por outros valores.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: fatorando, x2-1=(x-1)(x+1), então para x≠1, f(x)=(x-1)(x+1)/(x-1)=x+1 (simplificação válida só para x≠1). Calculando f(x) para x cada vez mais próximo de 1 (x=0.9→f=1.9; x=0.99→f=1.99; x=0.999→f=1.999; e pela direita, x=1.001→f=2.001; x=1.01→f=2.01), os valores se aproximam cada vez mais de 2, embora f(1) não exista. Essa observação — o valor para o qual f(x) se aproxima quando x se aproxima de a — é a ideia intuitiva de LIMITE, que será formalizada no próximo módulo (Limites e Continuidade). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — mesmo sem f(1) existir, os valores de f(x) se aproximam consistentemente de 2 conforme x se aproxima de 1, um comportamento perfeitamente previsível.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente f(x)=(x2-4)/(x-2) para x=1.9, 1.99, 2.01 e observar que os valores se aproximam de 4 (pois simplifica para x+2). Em duplas: calcular g(x)=(x2-9)/(x-3) para valores próximos de x=3 e identificar o valor de aproximação (6).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — o fato de f(1) não existir não impede que f(x) tenha um comportamento previsível e único perto de x=1; os valores calculados mostram f(x) se aproximando de 2, mesmo com um "buraco" exatamente em x=1.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para f(x)=(x2-1)/(x-1), calcule f(0.99) e f(1.01) (arredondando a duas casas).
Gabarito: f(0.99)≈1.99; f(1.01)≈2.01 — ambos próximos de 2.
2. Para qual valor os valores de f(x)=(x2-1)/(x-1) se aproximam conforme x se aproxima de 1?
Gabarito: 2 (pois f(x)=x+1 para x≠1, e 1+1=2).
3. Para f(x)=(x2-4)/(x-2), para qual valor f(x) se aproxima quando x se aproxima de 2?
Gabarito: 4 (pois f(x)=x+2 para x≠2, e 2+2=4).
4. Para g(x)=(x2-9)/(x-3), para qual valor g(x) se aproxima quando x se aproxima de 3?
Gabarito: 6 (pois g(x)=x+3 para x≠3, e 3+3=6).
5. Encontre o erro: "como f(1) não existe, é impossível saber o que acontece com f(x) perto de x=1".
Gabarito: Errado: mesmo sem f(1) existir, f(x) pode ter um comportamento previsível e único perto de x=1 — neste caso, f(x) se aproxima de 2.