Aula 466 — Funções definidas por partes
50 minObjetivo geral
Interpretar, avaliar e esboçar funções definidas por partes, incluindo o comportamento exato nos pontos de transição entre os intervalos.
Objetivos específicos
- Avaliar uma função definida por partes em pontos específicos, identificando corretamente qual "peça" usar.
- Avaliar a função exatamente no ponto de transição entre os intervalos, usando a peça correta ali definida.
- Reconhecer visualmente descontinuidades ("saltos") no gráfico de uma função definida por partes.
Conhecimentos prévios
- Função modular como caso particular de função por partes, Módulo 14.
- Intervalos e desigualdades, Aula 459 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula466_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor escreve f(x) = x+1 se x<2; 5 se x=2; x2-1 se x>2, e pergunta: qual é f(2)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever a função no quadro e perguntar se f(2) é 3 (usando x+1 com x=2), 5, ou 3 (usando x2-1 com x=2). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar a peça "vizinha" do intervalo em vez da peça que realmente vale EXATAMENTE no ponto de transição — em x=2, a definição diz explicitamente f(2)=5; as outras duas expressões (x+1 e x2-1) descrevem o comportamento perto de x=2, mas não definem o valor da função ali.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: uma função por partes é avaliada olhando primeiro em qual intervalo o valor de x se encaixa, incluindo pontos isolados definidos separadamente (como x=2 aqui). Calculando: se x se aproxima de 2 pela esquerda (x<2), f(x)=x+1 se aproxima de 3; se x se aproxima de 2 pela direita (x>2), f(x)=x2-1 se aproxima de 3 também; mas o VALOR EXATO definido em x=2 é 5, diferente de 3. Isso cria um "salto" visível no gráfico — um ponto isolado em (2,5) desconectado do resto da curva, que passa por perto de (2,3) mas com um buraco ali. Resolvendo a pergunta do Momento 2: f(2)=5, porque a definição diz explicitamente "5 se x=2" — as outras duas peças (x+1 e x2-1) não valem em x=2, só descrevem os intervalos x<2 e x>2.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: avaliar coletivamente g(x) = 2x se x≤0; x2+1 se x>0 em x=0 (g(0)=2·0=0, usando a peça x≤0) e em x=3 (g(3)=32+1=10). Em duplas: avaliar a mesma função em x=-1 (g(-1)=-2) e esboçar o comportamento perto de x=0.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: f(2)=5, direto da definição — o erro comum é usar uma das outras duas expressões, que descrevem apenas os intervalos x<2 e x>2, não o ponto x=2 propriamente dito.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para f(x)=x+1 se x<2; 5 se x=2; x2-1 se x>2, calcule f(2).
Gabarito: f(2)=5, pela definição explícita no ponto.
2. Para g(x)=2x se x≤0; x2+1 se x>0, calcule g(0).
Gabarito: g(0)=0, usando a peça x≤0 (2·0=0).
3. Para a mesma g(x), calcule g(3).
Gabarito: g(3)=32+1=10.
4. Para a mesma g(x), calcule g(-1).
Gabarito: g(-1)=2·(-1)=-2.
5. Encontre o erro: "em x=2, como x+1 e x2-1 dão os dois 3 quando x se aproxima de 2, então f(2)=3".
Gabarito: Errado: o valor de f(2) é o definido explicitamente na peça "5 se x=2"; o comportamento das outras peças perto de 2 não determina o valor exato em 2.