Aula 469 — Assíntotas verticais
50 minObjetivo geral
Identificar assíntotas verticais de funções racionais como valores de x que anulam o denominador após simplificação, distinguindo-as de buracos (descontinuidades removíveis).
Objetivos específicos
- Reconhecer que uma assíntota vertical ocorre em valores de x que anulam o denominador mas NÃO o numerador, após fatoração e simplificação.
- Distinguir uma assíntota vertical de um "buraco" (descontinuidade removível), que ocorre quando um fator é comum a numerador e denominador.
- Descrever o comportamento de f(x) perto de uma assíntota vertical (tendendo a +∞ ou -∞).
Conhecimentos prévios
- Domínio de funções racionais, Aula 461 deste módulo.
- Comportamento de funções próximo a um ponto, Aula 467 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula469_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: toda vez que o denominador de uma função racional zera em algum ponto, esse ponto é uma assíntota vertical?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoRetomar do quadro g(x)=(x-2)/(x2-4) (Aula 461) e perguntar se x=2 e x=-2 são ambos assíntotas verticais, já que ambos anulam o denominador x2-4. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar "denominador zero" e "assíntota vertical" como sinônimos automaticamente — quando o mesmo fator também anula o NUMERADOR (após fatoração), o ponto é um BURACO (a função se comporta como se fosse contínua ali, só falta o valor pontual), não uma assíntota vertical.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: fatorando g(x)=(x-2)/((x-2)(x+2))=1/(x+2) para x≠2 — o fator (x-2) é comum a numerador e denominador, então x=2 é um BURACO (a função se aproxima de 1/4=0,25 perto de x=2, um valor finito, só que f(2) não está definida). Já x=-2 continua anulando apenas o denominador da forma simplificada 1/(x+2) — é uma verdadeira ASSÍNTOTA VERTICAL, onde f(x)→+∞ de um lado e f(x)→-∞ do outro. Regra geral: assíntota vertical ocorre nas raízes do denominador que SOBREVIVEM à simplificação (não se cancelam com o numerador). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — x=2 é um buraco (fator comum cancelado), só x=-2 é assíntota vertical de g(x)=(x-2)/(x2-4).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: identificar coletivamente as assíntotas verticais de f(x)=(x+1)/(x-3) (assíntota vertical x=3, sem cancelamento). Em duplas: identificar buracos e assíntotas verticais de h(x)=(x-5)/(x2-25) (buraco em x=5, assíntota vertical em x=-5, pois x2-25=(x-5)(x+5)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — só é assíntota vertical o valor que anula o denominador e SOBREVIVE à simplificação; se o mesmo fator também anula o numerador, o ponto é um buraco, não uma assíntota.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para g(x)=(x-2)/(x2-4), qual ponto é buraco e qual é assíntota vertical?
Gabarito: x=2 é buraco (fator comum cancelado); x=-2 é assíntota vertical.
2. Qual a assíntota vertical de f(x)=(x+1)/(x-3)?
Gabarito: x=3.
3. Para h(x)=(x-5)/(x2-25), identifique o buraco e a assíntota vertical.
Gabarito: Buraco em x=5; assíntota vertical em x=-5.
4. Como se determina se um zero do denominador é buraco ou assíntota vertical?
Gabarito: Fatorando numerador e denominador: se o fator se cancela, é buraco; se sobrevive só no denominador, é assíntota vertical.
5. Encontre o erro: "g(x)=(x-2)/(x2-4) tem duas assíntotas verticais, em x=2 e x=-2".
Gabarito: Errado: x=2 é um buraco, pois o fator (x-2) se cancela entre numerador e denominador; só x=-2 é assíntota vertical.