Aula 470 — Assíntotas horizontais
50 minObjetivo geral
Determinar a assíntota horizontal de uma função racional comparando os graus do numerador e do denominador.
Objetivos específicos
- Aplicar a regra dos graus: grau numerador < grau denominador → assíntota horizontal y=0.
- Aplicar a regra dos graus: grau numerador = grau denominador → assíntota horizontal y=razão dos coeficientes líderes.
- Reconhecer que, quando o grau do numerador é MAIOR que o do denominador, não existe assíntota horizontal.
Conhecimentos prévios
- Comportamento de funções no infinito, Aula 468 deste módulo.
- Assíntotas verticais, Aula 469 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula470_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: toda função racional tem assíntota horizontal?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=(x2+1)/(x-1) no quadro (grau do numerador maior que o do denominador) e perguntar se essa função tem assíntota horizontal, como as vistas na Aula 468. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que toda função racional se estabiliza em algum valor finito quando x cresce — isso só acontece quando o grau do numerador é MENOR OU IGUAL ao grau do denominador; quando o numerador tem grau MAIOR, a função cresce sem limite, sem assíntota horizontal.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: regra dos graus (n=grau do numerador, d=grau do denominador): se n<d, assíntota horizontal y=0 (denominador domina, exemplo 1/(x2+1)→y=0); se n=d, assíntota horizontal y=razão dos coeficientes líderes (exemplo (2x+1)/(x+3)→y=2/1=2, retomando a Aula 468); se n>d, NÃO existe assíntota horizontal (o numerador cresce mais rápido, a função cresce sem limite — o comportamento nesse caso será visto na próxima aula, assíntota oblíqua). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — f(x)=(x2+1)/(x-1) tem grau do numerador (2) maior que o do denominador (1), então não tem assíntota horizontal.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: determinar coletivamente a assíntota horizontal de f(x)=1/(x2+1) (y=0, grau menor). Em duplas: determinar a assíntota horizontal de g(x)=(3x-1)/(x+2) (y=3, graus iguais) e verificar que h(x)=(x2+1)/(x-1) não tem assíntota horizontal (grau maior no numerador).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — só existe assíntota horizontal quando o grau do numerador é menor ou igual ao do denominador; quando o numerador tem grau maior, a função cresce sem limite (sem se estabilizar), como em f(x)=(x2+1)/(x-1).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual a assíntota horizontal de f(x)=1/(x2+1)?
Gabarito: y=0 (grau do numerador menor que o do denominador).
2. Qual a assíntota horizontal de g(x)=(3x-1)/(x+2)?
Gabarito: y=3 (graus iguais, razão dos coeficientes líderes 3/1).
3. f(x)=(x2+1)/(x-1) tem assíntota horizontal? Justifique.
Gabarito: Não — o grau do numerador (2) é maior que o do denominador (1).
4. Enuncie a regra dos graus para assíntota horizontal quando n=d.
Gabarito: A assíntota horizontal é y igual à razão entre os coeficientes líderes do numerador e do denominador.
5. Encontre o erro: "toda função racional tem assíntota horizontal, basta calcular a razão dos coeficientes líderes".
Gabarito: Errado: quando o grau do numerador é maior que o do denominador, não existe assíntota horizontal — a função cresce sem limite.