Aula 476 — Revisão de funções trigonométricas
50 minObjetivo geral
Revisar periodicidade, domínio e imagem das funções seno, cosseno e tangente, com foco nas assíntotas verticais da tangente.
Objetivos específicos
- Revisar que seno e cosseno têm domínio R e imagem [-1,1], sem restrição de domínio.
- Reconhecer que a tangente tem domínio restrito, com assíntotas verticais onde o cosseno se anula.
- Revisar a periodicidade de seno/cosseno (período 2π) e da tangente (período π).
Conhecimentos prévios
- Trigonometria, Módulo 24.
- Assíntotas verticais, Aula 469 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula476_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: a função tangente tem o mesmo domínio das funções seno e cosseno, que é R?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever tan(x)=sen(x)/cos(x) no quadro e perguntar se tan(x) está definida para todo x real, como sen(x) e cos(x) estão. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a tangente herda automaticamente o domínio R do seno e do cosseno, por ser construída a partir deles — como tan(x) é um QUOCIENTE, ela herda a restrição de domínio de uma divisão: não pode ser calculada onde cos(x)=0.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: sen(x) e cos(x) têm domínio R (nenhuma restrição) e imagem [-1,1] (nunca ultrapassam esses limites), com período 2π. Já tan(x)=sen(x)/cos(x) é uma divisão, e cos(x)=0 exatamente em x=π/2+kπ (k inteiro) — nesses pontos, a tangente tem ASSÍNTOTAS VERTICAIS, e seu domínio é R menos esses infinitos pontos. A tangente tem período π (metade do período de seno/cosseno) e imagem R (assume qualquer valor real, diferente do intervalo limitado de sen/cos). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — tan(x) tem domínio R-{π/2+kπ, k∈Z}, com assíntotas verticais exatamente onde cos(x)=0, diferente do domínio R completo de sen(x) e cos(x).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: identificar coletivamente os primeiros valores de x onde tan(x) tem assíntota vertical (π/2, 3π/2, -π/2). Em duplas: comparar a imagem de sen(x) ([-1,1]) com a imagem de tan(x) (R) e o período de cada uma (2π para sen/cos, π para tan).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — tan(x) não tem domínio R; ela tem assíntotas verticais exatamente onde cos(x)=0 (x=π/2+kπ), pois é uma divisão por cos(x), herdando a restrição típica de funções racionais.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual o domínio de sen(x) e de cos(x)?
Gabarito: R, sem restrição, para ambas.
2. Qual o domínio de tan(x)?
Gabarito: R-{π/2+kπ, k inteiro} — excluindo onde cos(x)=0.
3. Qual a imagem de sen(x)? E de tan(x)?
Gabarito: Imagem de sen(x): [-1,1]. Imagem de tan(x): R (qualquer valor real).
4. Qual o período de sen(x)/cos(x)? E o de tan(x)?
Gabarito: Sen/cos: 2π. Tangente: π.
5. Encontre o erro: "tan(x) está definida para todo x real, já que é construída a partir de sen(x) e cos(x), que têm domínio R".
Gabarito: Errado: tan(x)=sen(x)/cos(x) é uma divisão, e não está definida onde cos(x)=0 (x=π/2+kπ) — tem assíntotas verticais nesses pontos.