Aula 484 — Técnicas algébricas para cálculo de limites

50 min

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Objetivo geral

Resolver indeterminações 0/0 por fatoração e simplificação algébrica antes de aplicar a substituição direta.

Objetivos específicos

Fatorar numerador e denominador para cancelar o fator que causa a indeterminação.
Aplicar a substituição direta na expressão já simplificada.
Reconhecer que a expressão simplificada e a original coincidem em todo ponto, exceto no próprio ponto do limite.

Conhecimentos prévios

Formas indeterminadas, Aula 483 deste módulo.
Fatoração de expressões algébricas, Módulo 5.

Recursos didáticos

Apresentação de slides — Possor_MatAula484_Apresentacao.pptx.
Quadro/lousa e material de escrita.
Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: como calcular lim(x→3)(x²-9)/(x-3), já que a substituição direta dá 0/0?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever lim(x→3)(x²-9)/(x-3) no quadro e perguntar como contornar a indeterminação 0/0. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar simplificar a expressão "cortando" termos sem fatorar corretamente primeiro (por exemplo, cancelando x² com x de forma inválida) — a simplificação só é válida DEPOIS de fatorar completamente numerador e denominador e identificar o fator comum exato que causa a indeterminação.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: para resolver 0/0 por fatoração, fatora-se completamente numerador e denominador, cancela-se o fator comum (válido para x≠a, que é exatamente a condição do limite, já que x nunca chega a valer a), e então aplica-se substituição direta na expressão simplificada. Para lim(x→3)(x²-9)/(x-3): x²-9=(x-3)(x+3), então a expressão vira (x-3)(x+3)/(x-3)=x+3 para x≠3; substituindo x=3 na forma simplificada: 3+3=6. O limite vale 6, mesmo que a função original não esteja definida em x=3 (é exatamente o caso do "buraco" visto no Módulo 28, Aula 469). Resolvendo a pergunta do Momento 2: fatorando x²-9=(x-3)(x+3), cancelando o fator comum (x-3), e substituindo x=3 na forma simplificada x+3, obtendo 6.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente lim(x→2)(x²-4)/(x-2) por fatoração (x-2)(x+2)/(x-2)=x+2→4. Em duplas: calcular lim(x→-3)(x²-9)/(x+3) (fatorando (x-3)(x+3)/(x+3)=x-3→-6).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: fatorando x²-9 como (x-3)(x+3), cancelando o fator comum (x-3) com o denominador (válido pois x≠3 no processo de limite), e substituindo x=3 na expressão já simplificada x+3, obtendo 6.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule lim(x→3)(x²-9)/(x-3) por fatoração.

Gabarito: (x-3)(x+3)/(x-3)=x+3→6.

2. Calcule lim(x→2)(x²-4)/(x-2).

Gabarito: (x-2)(x+2)/(x-2)=x+2→4.

3. Calcule lim(x→-3)(x²-9)/(x+3).

Gabarito: (x-3)(x+3)/(x+3)=x-3→-6.

4. Por que é válido cancelar o fator comum antes de substituir?

Gabarito: Porque, no processo de limite, x se aproxima de a mas nunca é igual a a — o cancelamento é válido para x≠a, que é exatamente essa condição.

5. Encontre o erro: "para simplificar (x²-9)/(x-3), basta cancelar o x² com o x do denominador".

Gabarito: Errado: é preciso fatorar completamente o numerador primeiro — x²-9=(x-3)(x+3) — e só então cancelar o fator comum (x-3), não termos isolados.

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