Aula 485 — Limites envolvendo radicais
50 minObjetivo geral
Resolver indeterminações 0/0 envolvendo radicais multiplicando pelo conjugado da expressão.
Objetivos específicos
- Reconhecer quando uma indeterminação 0/0 envolve uma expressão com radical.
- Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da expressão radical para eliminar a indeterminação.
- Aplicar substituição direta na expressão racionalizada.
Conhecimentos prévios
- Técnicas algébricas para cálculo de limites, Aula 484 deste módulo.
- Domínio de funções com radicais, Módulo 28, Aula 462.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula485_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: como calcular lim(x→0)(√(x+4)-2)/x, já que fatorar não funciona com uma raiz no meio?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever lim(x→0)(√(x+4)-2)/x no quadro (substituição direta dá 0/0) e perguntar como aplicar fatoração aqui. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar aplicar a técnica de fatoração da aula anterior diretamente numa expressão com radical, sem perceber que fatoração não elimina uma raiz — a técnica certa para indeterminações com radical é multiplicar pelo CONJUGADO, não fatorar.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: quando a indeterminação envolve uma diferença com radical, multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado da expressão radical, usando (a-b)(a+b)=a2-b2 para eliminar a raiz. Para (√(x+4)-2)/x: multiplicando por (√(x+4)+2)/(√(x+4)+2), o numerador vira (x+4)-4=x, cancelando com o x do denominador, restando 1/(√(x+4)+2); substituindo x=0: 1/(√4+2)=1/4. Resolvendo a pergunta do Momento 2: multiplicando pelo conjugado (√(x+4)+2), que transforma a diferença de raízes numa diferença de quadrados, eliminando a raiz do numerador e permitindo o cancelamento com x.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente lim(x→0)(√(x+1)-1)/x multiplicando pelo conjugado (resultado 1/2). Em duplas: calcular lim(x→4)(√x-2)/(x-4) (resultado 1/4, multiplicando por (√x+2)).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: multiplicando numerador e denominador pelo conjugado da expressão radical — isso transforma a diferença de raízes numa diferença de quadrados (eliminando a raiz), permitindo o cancelamento do fator comum e a substituição direta.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Calcule lim(x→0)(√(x+4)-2)/x multiplicando pelo conjugado.
Gabarito: 1/4.
2. Calcule lim(x→0)(√(x+1)-1)/x.
Gabarito: 1/2.
3. Calcule lim(x→4)(√x-2)/(x-4).
Gabarito: 1/4.
4. Qual técnica se usa para eliminar uma indeterminação 0/0 com radical?
Gabarito: Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da expressão radical.
5. Encontre o erro: "para eliminar a indeterminação em (√(x+4)-2)/x, basta fatorar o numerador".
Gabarito: Errado: fatoração não elimina raízes; a técnica correta é multiplicar pelo conjugado, usando a diferença de quadrados.