Aula 486 — Limite trigonométrico fundamental

O professor pergunta: lim(x→0) sen(x)/x dá 0/0 na substituição direta — isso significa que o limite não existe?

Escrever lim(x→0) sen(x)/x no quadro, substituir x=0 e obter 0/0. Perguntar se esse limite pode ser resolvido pelas técnicas já vistas (fatoração, conjugado). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tentar aplicar fatoração ou conjugado a sen(x)/x, técnicas que não se aplicam a expressões trigonométricas — esse limite específico é um RESULTADO FUNDAMENTAL (demonstrado geometricamente, fora do escopo desta aula), que deve ser memorizado e usado como ferramenta para outros limites trigonométricos.

Apresentação dos slides 2 a 9: lim(x→0) sen(x)/x=1 é o limite trigonométrico fundamental — nem fatoração nem conjugado se aplicam aqui, pois a indeterminação vem da natureza da função seno perto de 0, não de um fator algébrico cancelável. Verificação numérica: x=-0,01→0,99998; x=-0,001→0,999999...; x=0,001→0,999999...; x=0,01→0,99998 — os valores se aproximam de 1 dos dois lados. Esse resultado é a base para calcular outros limites trigonométricos (próxima aula) e, mais adiante no curso de Cálculo, para derivar a função seno. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — mesmo com a indeterminação 0/0, o limite existe e vale exatamente 1; é um resultado fundamental, não calculável pelas técnicas algébricas já vistas.

Resolução guiada: verificar coletivamente numericamente que sen(x)/x se aproxima de 1 para x=0,1 e x=-0,1 (calculadora/Desmos). Em duplas: usar o limite fundamental para calcular lim(x→0) sen(3x)/(3x) (também vale 1, pois é a mesma forma com 3x no lugar de x).

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — mesmo gerando 0/0 na substituição direta, lim(x→0)sen(x)/x existe e vale 1; é um resultado fundamental que não se resolve por fatoração ou conjugado, mas serve de base para outros limites trigonométricos.