Aula 494 — Continuidade de funções
50 minObjetivo geral
Definir formalmente continuidade de uma função num ponto, com as três condições necessárias.
Objetivos específicos
- Enunciar as três condições para f ser contínua em a: f(a) existir, lim(x→a)f(x) existir, e os dois serem iguais.
- Verificar se uma função é contínua num ponto checando as três condições, na ordem.
- Reconhecer que basta UMA das três condições falhar para a função ser descontínua no ponto.
Conhecimentos prévios
- Assíntotas horizontais e limites no infinito, Aula 493 deste módulo.
- Funções definidas por partes, Módulo 28, Aula 466.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula494_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Desmos Graphing Calculator e Wolfram Alpha, para explorar gráficos e verificar resultados algébricos.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: basta que lim(x→a)f(x) exista para garantir que f é contínua em a?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoRetomar o exemplo da Aula 466 do Módulo 28 (f(x)=x+1 se x<2; 5 se x=2; x2-1 se x>2, onde o limite em x=2 existe e vale 3, mas f(2)=5) e perguntar se essa função é contínua em x=2. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a existência do limite sozinha garante continuidade — é preciso TAMBÉM que f(a) exista E que os dois valores (limite e f(a)) sejam iguais; falhar em qualquer uma das três condições torna a função descontínua no ponto.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: f é contínua em x=a se, e somente se, as três condições se cumprem: (1) f(a) existe; (2) lim(x→a)f(x) existe; (3) lim(x→a)f(x)=f(a). Para o exemplo revisitado: f(2)=5 existe (condição 1 ok), lim(x→2)f(x)=3 existe (condição 2 ok), mas 3≠5 (condição 3 falha) — então f é DESCONTÍNUA em x=2, apesar do limite existir. Esse é exatamente o tipo de descontinuidade que será classificado na próxima aula. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — o limite existir é só uma das três condições; é preciso também que f(a) exista e que os dois valores coincidam.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente a continuidade de g(x)=x2-1 em x=3 (checando as três condições: g(3)=8, lim=8, iguais — contínua). Em duplas: verificar a continuidade de h(x)=(x-2)/(x2-4) (Módulo 28) em x=2 (h(2) não existe — condição 1 falha, descontínua).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a existência do limite é apenas uma das três condições necessárias; é preciso também que f(a) exista e que limite e f(a) sejam iguais, o que falha no exemplo revisitado (limite=3, mas f(2)=5).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Quais as três condições para f ser contínua em a?
Gabarito: f(a) existir; lim(x→a)f(x) existir; e os dois serem iguais.
2. Para f(x)=x+1 se x<2; 5 se x=2; x2-1 se x>2, f é contínua em x=2?
Gabarito: Não — o limite vale 3, mas f(2)=5; a terceira condição falha.
3. g(x)=x2-1 é contínua em x=3?
Gabarito: Sim — g(3)=8, lim(x→3)g(x)=8, e são iguais.
4. h(x)=(x-2)/(x2-4) é contínua em x=2?
Gabarito: Não — h(2) não está definida (primeira condição falha).
5. Encontre o erro: "basta o limite existir num ponto para a função ser contínua ali".
Gabarito: Errado: é preciso também que f(a) exista e que seja igual ao limite — as três condições juntas.