Aula 61 — Subconjuntos e conjunto das partes
50 minObjetivo geral
Identificar todos os subconjuntos de um conjunto dado e calcular o número de subconjuntos usando a fórmula 2n.
Objetivos específicos
- Listar todos os subconjuntos de um conjunto com poucos elementos.
- Calcular o número total de subconjuntos de um conjunto com n elementos usando 2n.
- Definir o conjunto das partes de um conjunto A como o conjunto de todos os subconjuntos de A.
- Reconhecer que o conjunto vazio e o próprio conjunto A são sempre subconjuntos de A.
Conhecimentos prévios
- Pertinência e relação de inclusão, Módulo 3, Aula 60.
- Potenciação de números naturais e propriedades básicas, Módulo 1, Aula 22.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula61_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Calculadora para conferência dos resultados.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "quantos subconjuntos vocês acham que tem o conjunto {1,2}?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPedir para listar os subconjuntos de {1,2} e perguntar: o conjunto vazio e o próprio {1,2} contam como subconjuntos? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de incluir o conjunto vazio ou o próprio conjunto como subconjuntos ao listar todos os subconjuntos de um conjunto.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: todo conjunto A tem o conjunto vazio (∅) e o próprio A entre seus subconjuntos, além de todas as combinações intermediárias de seus elementos — isso resolve o obstáculo do Momento 2: os subconjuntos de {1,2} são ∅, {1}, {2} e {1,2}, quatro no total. O número de subconjuntos de um conjunto com n elementos é sempre 2n, porque cada elemento tem duas possibilidades independentes (estar ou não estar no subconjunto). O conjunto das partes de A, escrito P(A), é o conjunto formado por TODOS os subconjuntos de A.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: listar coletivamente todos os subconjuntos de {1,2}, conferindo o total com a fórmula 2n. Em duplas: listar todos os subconjuntos de um conjunto com 3 elementos.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: {1,2} tem 4 subconjuntos (∅, {1}, {2}, {1,2}), confirmado pela fórmula 22=4.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Liste todos os subconjuntos de A={1,2}.
Gabarito: ∅, {1}, {2}, {1,2}.
2. Quantos subconjuntos tem um conjunto com 4 elementos? Use a fórmula 2n.
Gabarito: 24=16.
3. Liste todos os subconjuntos de B={x,y,z}.
Gabarito: ∅, {x}, {y}, {z}, {x,y}, {x,z}, {y,z}, {x,y,z} (8 subconjuntos).
4. O conjunto das partes de A={1,2} é P(A)={∅,{1},{2},{1,2}}. Quantos elementos tem P(A)? Confirme usando a fórmula.
Gabarito: P(A) tem 4 elementos, confirmando 22=4.
5. Por que o conjunto vazio é sempre um subconjunto de qualquer conjunto A, mesmo que A não seja vazio?
Gabarito: Resposta aberta — porque não existe nenhum elemento do conjunto vazio que "falhe" em pertencer a A (a condição é satisfeita porque não há nada a verificar).
Observações e extensão
Próxima aula: União e interseção de conjuntos.