Aula 65 — Problemas envolvendo operações com conjuntos
50 minObjetivo geral
Resolver problemas do cotidiano usando as operações de conjuntos e a fórmula |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.
Objetivos específicos
- Traduzir um problema em texto para uma representação de conjuntos (diagrama de Venn ou notação).
- Aplicar a fórmula |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B| para encontrar uma quantidade desconhecida.
- Resolver problemas com três conjuntos, usando um diagrama de Venn com três círculos.
- Interpretar o resultado de um problema de conjuntos no contexto da pergunta original.
Conhecimentos prévios
- Diagramas de Venn, Módulo 3, Aula 64.
- Do texto à matemática: converter situações em tabelas, expressões, equações e gráficos, Módulo 0, Aula 13.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula65_Apresentacao.pptx.
- Lista de problemas do cotidiano (pesquisas, preferências) impressa ou projetada.
- GeoGebra (diagramas de Venn com três conjuntos, ajustáveis em tempo real).
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "numa pesquisa com pessoas que gostam de dois sabores de sorvete, o que aconteceria se eu simplesmente somasse os dois grupos, sem pensar em quem gosta dos dois?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: numa turma de 40 alunos, 25 fazem inglês, 18 fazem espanhol e 10 fazem os dois — dá pra somar 25+18 direto pra achar quantos fazem pelo menos um idioma? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de subtrair a interseção ao somar |A|+|B|, contando os elementos da interseção duas vezes no total.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a fórmula |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B| corrige a contagem dupla da interseção — isso resolve o obstáculo do Momento 2: 25+18=43 conta os 10 alunos da interseção duas vezes, então o correto é 25+18−10=33 alunos fazendo pelo menos um idioma. Problemas com três conjuntos seguem a mesma lógica, mas usam um diagrama com três círculos sobrepostos, que tem 8 regiões distintas (incluindo a região fora de todos os conjuntos). Depois de resolver, é essencial reler a pergunta original: às vezes o problema pede quem faz "pelo menos um", às vezes pede quem NÃO faz nenhum (complementar ao total do universo).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente o problema dos idiomas, aplicando a fórmula e depois calculando quantos alunos não fazem nenhum idioma. Em duplas: resolver um novo problema de três conjuntos, usando um diagrama de três círculos.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: somar os dois grupos direto contaria as pessoas que gostam dos dois sabores duas vezes — é preciso subtrair a interseção para corrigir isso.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Numa turma de 40 alunos, 25 fazem inglês, 18 fazem espanhol e 10 fazem os dois idiomas. Quantos alunos fazem pelo menos um dos dois idiomas?
Gabarito: |A∪B|=25+18−10=33 alunos.
2. No problema anterior, quantos alunos NÃO fazem nenhum dos dois idiomas?
Gabarito: 40−33=7 alunos.
3. Numa pesquisa com 50 pessoas, 20 gostam de café, 15 gostam de chá e 8 gostam dos dois. Quantas pessoas não gostam de nenhum dos dois?
Gabarito: |A∪B|=20+15−8=27. Não gostam de nenhum: 50−27=23 pessoas.
4. Explique por que a fórmula |A∪B|=|A|+|B|−|A∩B| subtrai a interseção, em vez de simplesmente somar |A| e |B|.
Gabarito: Resposta aberta — porque somar |A|+|B| direto conta os elementos da interseção duas vezes (uma em cada conjunto); subtrair |A∩B| corrige essa contagem dupla.
5. Descreva um diagrama de Venn com três conjuntos (A, B, C) que se sobrepõem dois a dois e no centro, e indique quantas regiões distintas esse diagrama tem.
Gabarito: Resposta aberta — um diagrama de três conjuntos que se sobrepõem tem 8 regiões distintas (incluindo a região fora de todos os conjuntos).
Observações e extensão
Próxima aula: Conjunto dos números naturais (ℕ). Nota para o professor: esta aula fecha o bloco de teoria de conjuntos (Aulas 59 a 65); a partir da próxima, o módulo aplica esses conceitos aos conjuntos numéricos que os alunos já usam desde o Módulo 1.