Aula 67 — Conjunto dos números inteiros ($\mathbb{Z}$)
50 minObjetivo geral
Reconhecer o conjunto dos números inteiros (ℤ) como uma extensão de ℕ que inclui os números negativos, com ℕ como subconjunto de ℤ.
Objetivos específicos
- Definir ℤ={...,−2,−1,0,1,2,...} como o conjunto dos números inteiros.
- Reconhecer que ℕ ⊂ ℤ (todo número natural é também inteiro).
- Usar as notações ℤ*, ℤ+ e ℤ− para subconjuntos específicos de ℤ.
- Verificar se um número pertence a ℤ usando a notação de pertinência.
Conhecimentos prévios
- Números inteiros: conceito, oposto e representação na reta, Módulo 1, Aula 28.
- Conjunto dos números naturais (ℕ), Módulo 3, Aula 66.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula67_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Cartaz com as notações ℤ, ℤ*, ℤ+ e ℤ− e seus significados.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "todo número natural também é um número inteiro, ou são dois grupos separados?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: ℕ ⊂ ℤ é uma afirmação verdadeira? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que ℕ e ℤ são conjuntos "separados" (sem relação de inclusão), quando na verdade ℕ é um subconjunto de ℤ — todo natural também é inteiro.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o conjunto dos números inteiros, ℤ={...,−2,−1,0,1,2,...}, estende ℕ incluindo os números negativos (Módulo 1, Aula 28) — como todo número natural também está em ℤ, ℕ ⊂ ℤ, resolvendo o obstáculo do Momento 2. As notações ℤ* (inteiros sem o zero), ℤ+ (inteiros não negativos: 0,1,2,3...) e ℤ− (inteiros não positivos: 0,−1,−2,−3...) recortam subconjuntos específicos de ℤ. A verificação de pertinência funciona igual: −8 ∈ ℤ, mas −8 ∉ ℕ.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: discutir coletivamente por que ℕ ⊂ ℤ, com exemplos concretos. Em duplas: classificar uma lista de números quanto à pertinência em ℕ, ℤ, ℤ+ e ℤ−.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: todo número natural também é inteiro — ℕ está contido em ℤ, não são grupos separados.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva três elementos de ℤ que NÃO pertencem a ℕ.
Gabarito: Resposta aberta — quaisquer três números negativos, como −1, −5, −100.
2. A relação ℕ ⊂ ℤ é verdadeira? Justifique.
Gabarito: Sim — todo número natural (0,1,2,3...) também é um número inteiro, então ℕ está contido em ℤ.
3. O que representam as notações ℤ+ e ℤ−?
Gabarito: ℤ+ representa os inteiros não negativos (0,1,2,3...); ℤ− representa os inteiros não positivos (0,−1,−2,−3...).
4. Complete com ∈ ou ∉: −8 ___ ℤ; −8 ___ ℕ.
Gabarito: −8 ∈ ℤ; −8 ∉ ℕ.
5. Explique por que foi necessário criar o conjunto ℤ, se ℕ já existia.
Gabarito: Resposta aberta — espera-se referência à impossibilidade de resolver certas subtrações dentro de ℕ (como 3−5), o que motivou a criação dos números negativos (Módulo 1, Aula 28).
Observações e extensão
Próxima aula: Conjunto dos números racionais (ℚ). Nota para o professor: a próxima aula retoma frações e decimais (Módulo 2) para formalizar o conjunto ℚ, do qual ℤ é subconjunto.