Aula 68 — Conjunto dos números racionais ($\mathbb{Q}$)
50 minObjetivo geral
Reconhecer o conjunto dos números racionais (ℚ) como o conjunto de todos os números que podem ser escritos como fração de dois inteiros, com ℤ como subconjunto de ℚ.
Objetivos específicos
- Definir ℚ como o conjunto dos números que podem ser escritos na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de zero.
- Reconhecer que ℤ ⊂ ℚ (todo número inteiro também é racional, escrito como fração de denominador 1).
- Reconhecer que toda dízima periódica (simples ou composta) é um número racional.
- Verificar se um número pertence a ℚ, escrevendo-o na forma de fração quando possível.
Conhecimentos prévios
- Conjunto dos números inteiros (ℤ), Módulo 3, Aula 67.
- Fração geratriz de dízimas periódicas, Módulo 2, Aula 51.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula68_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Cartaz com a definição de ℚ e exemplos de números racionais.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: "o número 5 é uma fração? Ele é racional?" Ouvir hipóteses.
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoPerguntar: um número inteiro, que não "parece" uma fração, pode ser racional mesmo assim? Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que números inteiros não são racionais, por não "parecerem frações" — todo inteiro é racional, pois pode ser escrito como fração de denominador 1.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: ℚ é o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma a/b, com a e b inteiros e b≠0 — isso resolve o obstáculo do Momento 2: 5=5/1, então 5 é racional, mesmo "não parecendo" uma fração à primeira vista; por isso ℤ ⊂ ℚ. Toda dízima periódica (Módulo 2, Aulas 49-51) também é racional, porque tem uma fração geratriz: 0,333...=1/3, por exemplo. Para verificar se um número pertence a ℚ, basta tentar escrevê-lo como fração de inteiros.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: escrever coletivamente 5 e 0,333... como frações, confirmando que ambos são racionais. Em duplas: verificar se uma lista de números (inteiros, decimais exatos, dízimas) pertence a ℚ.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: sim — 5 é uma fração (5/1) e é racional, mesmo não sendo escrito assim no dia a dia.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. O número 5 é racional? Justifique escrevendo-o como fração.
Gabarito: Sim, 5=5/1, uma fração de inteiros com denominador diferente de zero.
2. A dízima 0,333... é racional? Justifique usando sua fração geratriz.
Gabarito: Sim — sua fração geratriz é 1/3, então é um número racional, mesmo tendo representação decimal infinita.
3. A relação ℤ ⊂ ℚ é verdadeira? Justifique.
Gabarito: Sim — todo número inteiro pode ser escrito como fração de denominador 1, então está contido em ℚ.
4. Complete com ∈ ou ∉: 0,75 ___ ℚ; −3 ___ ℚ.
Gabarito: 0,75 ∈ ℚ (=3/4); −3 ∈ ℚ (=−3/1).
5. Explique por que toda dízima periódica é um número racional, mesmo tendo infinitas casas decimais.
Gabarito: Resposta aberta — porque toda dízima periódica tem uma fração geratriz (Módulo 2, Aula 51), ou seja, pode ser escrita como razão entre dois inteiros, que é exatamente a definição de número racional.
Observações e extensão
Próxima aula: Números irracionais. Nota para o professor: a próxima aula apresenta números que NÃO cabem em ℚ — o primeiro conjunto numérico do módulo que não é uma simples extensão do anterior.