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Aula 497 — Taxa de variação média

50 min
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Objetivo geral

Calcular a taxa de variação média de uma função entre dois pontos, interpretando-a como o coeficiente angular da reta secante.

Objetivos específicos

  • Calcular Δy/Δx entre dois pontos de uma função.
  • Interpretar a taxa de variação média como a inclinação da reta secante que passa pelos dois pontos.
  • Reconhecer que a taxa de variação média de uma função não linear muda conforme o intervalo escolhido.

Conhecimentos prévios

  • Coeficiente angular de uma reta, Módulo 26.
  • Limites e Continuidade, Módulo 29.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula497_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: para f(x)=x2, a taxa de variação entre x=1 e x=3 é a mesma que entre x=3 e x=5?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever f(x)=x2 no quadro e perguntar se a taxa de variação média é constante, como numa reta. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): tratar a taxa de variação média de qualquer função como se fosse sempre constante (como numa função afim) — para funções não lineares, a taxa de variação média MUDA conforme o intervalo escolhido, porque a curva não sobe de forma uniforme.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a taxa de variação média de f entre x=a e x=b é Δy/Δx=(f(b)-f(a))/(b-a) — o coeficiente angular da reta SECANTE que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). Para f(x)=x2 entre x=1 e x=3: (9-1)/(3-1)=4. Entre x=3 e x=5: (25-9)/(5-3)=8 — taxas diferentes, porque a curva fica mais íngreme conforme x cresce. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a taxa entre 1 e 3 é 4, e entre 3 e 5 é 8; funções não lineares têm taxa de variação média diferente em cada intervalo.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: calcular coletivamente a taxa de variação média de f(x)=x2 entre x=0 e x=2 (resultado 2). Em duplas: calcular a taxa de variação média de f(x)=x3 entre x=1 e x=2 (resultado 7).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — a taxa de variação média de f(x)=x2 entre 1 e 3 é 4, e entre 3 e 5 é 8; a taxa muda porque a inclinação da reta secante depende de qual intervalo se escolhe.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Calcule a taxa de variação média de f(x)=x2 entre x=1 e x=3.

Gabarito: 4.

2. Calcule a taxa de variação média de f(x)=x2 entre x=3 e x=5.

Gabarito: 8.

3. Calcule a taxa de variação média de f(x)=x3 entre x=1 e x=2.

Gabarito: 7.

4. O que a taxa de variação média representa geometricamente?

Gabarito: O coeficiente angular da reta secante que liga os dois pontos.

5. Encontre o erro: "a taxa de variação média de qualquer função é sempre a mesma, não importa o intervalo".

Gabarito: Errado: para funções não lineares, a taxa de variação média muda conforme o intervalo escolhido.

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