Aula 498 — Taxa de variação instantânea
50 minObjetivo geral
Calcular a taxa de variação instantânea de uma função num ponto, como o limite da taxa de variação média quando o intervalo tende a zero.
Objetivos específicos
- Calcular a taxa de variação média em intervalos cada vez menores ao redor de um ponto.
- Reconhecer a taxa de variação instantânea como o limite dessa sequência de taxas médias.
- Calcular lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h para uma função simples.
Conhecimentos prévios
- Taxa de variação média, Aula 497 deste módulo.
- Limites laterais e definição informal, Módulo 29.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula498_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para medir a taxa de variação EXATAMENTE em x=1 (não num intervalo), é preciso um intervalo de largura zero?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=x2 no quadro e perguntar como medir a taxa de variação "num único ponto", já que a fórmula Δy/Δx precisa de DOIS pontos. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a taxa instantânea exige literalmente um intervalo de largura zero (o que geraria 0/0, indefinido) — a solução não é usar um intervalo de largura zero, mas sim tomar o LIMITE da taxa média conforme o intervalo se estreita cada vez mais, sem nunca chegar a zero.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a taxa de variação instantânea em x=a é definida como lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h — o limite da taxa de variação média no intervalo [a,a+h] conforme h se aproxima de 0 (sem nunca ser 0). Para f(x)=x2 em a=1: (1+h)2-12)/h=(2h+h2)/h=2+h (para h≠0), que tende a 2 quando h→0. Calculando numericamente: h=0,1→2,1; h=0,01→2,01; h=-0,01→1,99 — os valores se aproximam de 2 dos dois lados. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — não se usa um intervalo de largura zero (que geraria indefinição); toma-se o LIMITE da taxa média conforme h→0, technique já dominada no Módulo 29.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a taxa de variação instantânea de f(x)=x2 em x=2 usando o limite (resultado 4). Em duplas: calcular a taxa instantânea de f(x)=x2 em x=3 (resultado 6).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — em vez de um intervalo de largura zero (que geraria 0/0 sem sentido), calcula-se o LIMITE da taxa de variação média conforme o intervalo se estreita, técnica que o Módulo 29 já preparou.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a definição da taxa de variação instantânea de f em x=a, usando limite.
Gabarito: lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h.
2. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x)=x2 em x=1.
Gabarito: 2.
3. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x)=x2 em x=2.
Gabarito: 4.
4. Calcule a taxa de variação instantânea de f(x)=x2 em x=3.
Gabarito: 6.
5. Encontre o erro: "a taxa instantânea se calcula usando um intervalo de largura exatamente zero".
Gabarito: Errado: isso geraria 0/0; a taxa instantânea é o LIMITE da taxa média conforme o intervalo tende a zero, sem nunca ser zero.