Aula 502 — Derivada da função constante e da função potência
50 minObjetivo geral
Aplicar a regra da derivada da função constante e a regra da potência para funções do tipo xn.
Objetivos específicos
- Reconhecer que a derivada de uma função constante é sempre zero.
- Aplicar a regra da potência: d/dx[xn]=n·x^(n-1).
- Justificar a regra da potência a partir da definição de derivada pelo limite, para expoentes simples.
Conhecimentos prévios
- Definição de derivada pelo limite, Aula 500 deste módulo.
- Potenciação, Módulo 4.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula502_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: qual é a derivada da função constante f(x)=7?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=7 no quadro e perguntar se a derivada é 7 ou outra coisa. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a derivada de uma constante é a própria constante (confundindo "derivar" com "copiar o valor") — a derivada mede TAXA DE VARIAÇÃO, e uma função constante não varia nunca, então sua derivada é sempre zero, qualquer que seja o valor da constante.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: pela definição, f'(a)=lim(h→0)(f(a+h)-f(a))/h; para f(x)=c (constante), f(a+h)-f(a)=c-c=0 para todo h, então f'(a)=lim(h→0)0/h=0 — a derivada de qualquer constante é 0. Para a regra da potência, d/dx[xn]=n·x^(n-1): por exemplo, d/dx[x5]=5x4. Pela definição, para f(x)=x2 (n=2): f'(a)=lim(h→0)((a+h)2-a2)/h=2a=2a1 (confirma a regra: n·a^(n-1)=2a1). Resolvendo a pergunta do Momento 2: 0 — a derivada de f(x)=7 é 0, pois uma função constante nunca varia; a derivada não "copia" o valor da função, mede sua variação.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente a derivada de f(x)=x5 pela regra da potência (5x4). Em duplas: calcular as derivadas de g(x)=x10 (10x9) e de h(x)=-3 (0, constante).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: 0 — a derivada de qualquer função constante é zero, porque a função nunca varia; a derivada mede taxa de variação, não o valor da função.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Qual a derivada de f(x)=7?
Gabarito: 0.
2. Qual a derivada de f(x)=x5?
Gabarito: 5x4.
3. Qual a derivada de g(x)=x10?
Gabarito: 10x9.
4. Enuncie a regra da potência.
Gabarito: d/dx[xn]=n·x^(n-1).
5. Encontre o erro: "a derivada de uma função constante é igual à própria constante".
Gabarito: Errado: a derivada de qualquer constante é sempre 0, pois ela nunca varia.