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Aula 503 — Regra da soma e diferença

50 min
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Objetivo geral

Aplicar a regra da soma e diferença de derivadas, reconhecendo que essa regra NÃO se estende diretamente ao produto.

Objetivos específicos

  • Aplicar (f+g)'=f'+g' e (f-g)'=f'-g'.
  • Derivar funções que combinam soma/diferença de termos com a regra da potência.
  • Reconhecer que a regra da soma NÃO se estende ao produto: (f·g)' ≠ f'·g', em geral.

Conhecimentos prévios

  • Derivada da função constante e da função potência, Aula 502 deste módulo.
  • Propriedades operatórias dos limites, Módulo 29.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula503_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: já que (f+g)'=f'+g', então (f·g)'=f'·g' também, certo?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever (f+g)'=f'+g' no quadro e perguntar se a mesma lógica de "derivar cada parte separadamente" vale para o produto. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): generalizar a regra da soma (que realmente funciona termo a termo) para o produto — (f·g)' NÃO é f'·g' em geral; a próxima aula mostrará a regra correta do produto, mas por ora é importante perceber que essa generalização falsa é tentadora e precisa ser testada.

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: pelas propriedades operatórias dos limites (Módulo 29), (f+g)'=f'+g' e (f-g)'=f'-g' — essas regras são diretas, pois a soma de limites é a soma dos limites. Para f(x)=x3+2x2-5x+1: f'(x)=3x2+4x-5 (derivando cada termo com a regra da potência e somando). Testando a generalização para o produto com f(x)=x2 e g(x)=sen(x): calculando (f·g)' pela definição dá x·(x·cos(x)+2·sen(x)), enquanto f'·g'=2x·cos(x) — os dois resultados são DIFERENTES, provando que (f·g)'≠f'·g'. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — testando com um exemplo concreto (f=x2, g=sen(x)), (f·g)' e f'·g' dão resultados diferentes; a regra da soma não se estende ao produto, que tem sua própria regra (próxima aula).

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: derivar coletivamente f(x)=4x3-x2+7 (12x2-2x). Em duplas: derivar g(x)=x4-3x3+2x-8 (4x3-9x2+2).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — embora (f+g)'=f'+g' funcione, (f·g)'≠f'·g' em geral (confirmável testando com f=x2 e g=sen(x)); o produto tem sua própria regra, que será vista na próxima aula.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Derive f(x)=x3+2x2-5x+1.

Gabarito: f'(x)=3x2+4x-5.

2. Derive g(x)=4x3-x2+7.

Gabarito: g'(x)=12x2-2x.

3. Derive h(x)=x4-3x3+2x-8.

Gabarito: h'(x)=4x3-9x2+2.

4. A regra (f+g)'=f'+g' se estende ao produto, (f·g)'=f'·g'?

Gabarito: Não — em geral (f·g)'≠f'·g'.

5. Encontre o erro: "se a derivada da soma é a soma das derivadas, a derivada do produto é o produto das derivadas".

Gabarito: Errado: a regra da soma não se estende ao produto; o produto tem sua própria regra (regra do produto).

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