Aula 512 — Derivação implícita
50 minObjetivo geral
Aplicar a derivação implícita para encontrar dy/dx em relações onde y não está isolado, usando a regra da cadeia em termos de y.
Objetivos específicos
- Derivar ambos os lados de uma equação implícita em relação a x, tratando y como função de x.
- Aplicar a regra da cadeia ao derivar termos com y, multiplicando por dy/dx.
- Isolar dy/dx algebricamente após a derivação.
Conhecimentos prévios
- Regra da cadeia, Aula 506 deste módulo.
- Circunferência: equação reduzida, Módulo 26.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula512_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para x2+y2=25, a derivada do termo y2 em relação a x é simplesmente 2y, como se y fosse a variável independente?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever x2+y2=25 no quadro e perguntar como derivar o termo y2 em relação a x. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): derivar y2 como se y fosse uma variável independente igual a x (obtendo só 2y, esquecendo o fator dy/dx) — como y é uma função de x (mesmo sem estar explicitada), derivar y2 exige a regra da cadeia: d/dx[y2]=2y·dy/dx, não apenas 2y.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: na derivação implícita, y é tratado como uma função desconhecida de x, y=y(x); ao derivar qualquer termo com y, aplica-se a regra da cadeia, multiplicando por dy/dx. Para x2+y2=25: derivando ambos os lados, 2x+2y·dy/dx=0; isolando, dy/dx=-x/y. No ponto (3,4) (que satisfaz 9+16=25): dy/dx=-3/4. Esse resultado tem sentido geométrico — é a inclinação da reta tangente à circunferência no ponto (3,4), perpendicular ao raio ali. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — d/dx[y2]=2y·dy/dx, com o fator dy/dx obrigatório pela regra da cadeia, já que y é uma função de x, não uma constante independente.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: derivar coletivamente xy=6 implicitamente (resultado dy/dx=-y/x) e calcular dy/dx no ponto (2,3) (resultado -3/2). Em duplas: derivar x2-y2=9 implicitamente (resultado dy/dx=x/y).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — como y é uma função de x, derivar y2 exige a regra da cadeia, resultando em 2y·dy/dx, não apenas 2y; esquecer o fator dy/dx é o erro central da derivação implícita.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Derive implicitamente x2+y2=25 e isole dy/dx.
Gabarito: dy/dx=-x/y.
2. Calcule dy/dx no ponto (3,4) da circunferência x2+y2=25.
Gabarito: -3/4.
3. Derive implicitamente xy=6 e calcule dy/dx em (2,3).
Gabarito: dy/dx=-y/x; em (2,3): -3/2.
4. Derive implicitamente x2-y2=9.
Gabarito: dy/dx=x/y.
5. Encontre o erro: "ao derivar y2 em relação a x, o resultado é simplesmente 2y".
Gabarito: Errado: como y é função de x, é preciso aplicar a regra da cadeia, resultando em 2y·dy/dx.