Aula 511 — Derivadas de funções logarítmicas

O professor pergunta: a derivada de log₂(x) é igual à derivada de ln(x), já que são as duas funções logarítmicas?

Escrever d/dx[ln(x)]=1/x no quadro e perguntar se d/dx[log₂(x)] também é 1/x. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer o fator ln(a) que aparece ao derivar logaritmos em bases diferentes de e — só o logaritmo NATURAL (base e) tem derivada exatamente 1/x; outras bases carregam um fator de correção 1/ln(a).

Apresentação dos slides 2 a 9: d/dx[ln(x)]=1/x é a regra mais simples, válida só para a base e. Para uma base geral a: usando log_a(x)=ln(x)/ln(a) (mudança de base), d/dx[log_a(x)]=(1/x)/ln(a)=1/(x·ln(a)). Por exemplo, d/dx[log₂(x)]=1/(x·ln(2)), diferente de 1/x. Combinando com a regra da cadeia: d/dx[ln(3x+1)]=3/(3x+1) (derivada da função interna sobre a função interna). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — d/dx[log₂(x)]=1/(x·ln(2)), com o fator ln(2) no denominador; só ln(x) (base e) tem a derivada simples 1/x.

Resolução guiada: derivar coletivamente f(x)=ln(5x) pela regra da cadeia (1/x, pois a derivada da interna 5 cancela com o 5 de dentro: 5/(5x)=1/x). Em duplas: derivar g(x)=log₃(x) (resultado 1/(x·ln(3))) e h(x)=ln(x²+1) (resultado 2x/(x²+1)).

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Retomar a pergunta do Momento 1: não — só ln(x) (logaritmo natural, base e) tem derivada exatamente 1/x; log₂(x) tem derivada 1/(x·ln(2)), com o fator ln(2) extra.