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Aula 514 — Derivada da função inversa

50 min
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Objetivo geral

Calcular a derivada da função inversa usando a fórmula (f-1)'(x)=1/f'(f-1(x)), sem confundi-la com 1/f'(x).

Objetivos específicos

  • Enunciar a fórmula da derivada da função inversa.
  • Reconhecer que o denominador da fórmula envolve f' avaliada em f-1(x), não em x diretamente.
  • Aplicar a fórmula para calcular a derivada da inversa num ponto específico.

Conhecimentos prévios

  • Função inversa e interpretação gráfica, Módulo 28.
  • Regra da cadeia, Aula 506 deste módulo.

Recursos didáticos

  • Apresentação de slides — Possor_MatAula514_Apresentacao.pptx.
  • Quadro/lousa e material de escrita.
  • Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.

Desenvolvimento da aula

Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios

5 min · Ausubel — ativação de subsunçores

O professor pergunta: se f(2)=9 e f'(2)=12, para f(x)=x3+1, qual é (f-1)'(9)? É 1/f'(9)?

Problematização Inicial

5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipado

Escrever f(x)=x3+1, f(2)=9, f'(2)=12 no quadro e perguntar se (f-1)'(9)=1/f'(9). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): calcular 1/f'(x) diretamente no PONTO x onde se quer a derivada da inversa (aqui, x=9), em vez de calcular f' no ponto CORRESPONDENTE pela função original — a fórmula correta exige encontrar primeiro f-1(9) (que é 2, pois f(2)=9), e só então calcular 1/f'(2), não 1/f'(9).

Desenvolvimento Conceitual

20 min · Exposição dialogada

Apresentação dos slides 2 a 9: a fórmula da derivada da inversa é (f-1)'(x)=1/f'(f-1(x)) — para calculá-la em x=9, primeiro encontra-se f-1(9) (o valor a tal que f(a)=9, aqui a=2), e então avalia-se f' nesse ponto a=2 (não em x=9). Para f(x)=x3+1: f(2)=9, f'(x)=3x2, f'(2)=12, então (f-1)'(9)=1/12. Essa fórmula decorre da regra da cadeia aplicada a f(f-1(x))=x: derivando ambos os lados, f'(f-1(x))·(f-1)'(x)=1, isolando (f-1)'(x)=1/f'(f-1(x)). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — (f-1)'(9)=1/f'(f-1(9))=1/f'(2)=1/12; o denominador usa f' avaliada no ponto f-1(9)=2, não em x=9 diretamente.

Resolução Guiada

10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento Proximal

Resolução guiada: determinar coletivamente (f-1)'(8) para f(x)=x3 (f(2)=8, f'(2)=12, resultado 1/12). Em duplas: determinar (f-1)'(4) para f(x)=x2+ (x≥0) (f(2)=4, f'(x)=2x, f'(2)=4, resultado 1/4).

Exercícios de Fixação

7 min · Prática independente

Aplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).

Síntese e Fechamento

3 min · Consolidação (fechamento circular)

Retomar a pergunta do Momento 1: não — (f-1)'(9)=1/f'(2)=1/12, não 1/f'(9); é preciso primeiro achar o ponto a tal que f(a)=9 (aqui a=2), e só então avaliar f' nesse ponto correspondente.

Avaliação formativa

Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.

Lista de exercícios

1. Enuncie a fórmula da derivada da função inversa.

Gabarito: (f-1)'(x)=1/f'(f-1(x)).

2. Para f(x)=x3+1, calcule (f-1)'(9).

Gabarito: 1/12 (pois f(2)=9 e f'(2)=12).

3. Para f(x)=x3, calcule (f-1)'(8).

Gabarito: 1/12 (pois f(2)=8 e f'(2)=12).

4. Para f(x)=x2 (x≥0), calcule (f-1)'(4).

Gabarito: 1/4 (pois f(2)=4 e f'(2)=4).

5. Encontre o erro: "(f-1)'(9) se calcula como 1/f'(9)".

Gabarito: Errado: é preciso calcular 1/f'(f-1(9)), avaliando f' no ponto correspondente pela função original, não em 9 diretamente.

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