Aula 515 — Diferenciais e aproximação linear
50 minObjetivo geral
Usar a diferencial e a linearização para aproximar valores de funções perto de um ponto conhecido.
Objetivos específicos
- Escrever a linearização L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) de uma função perto de x=a.
- Usar a diferencial dy=f'(x)dx para aproximar a variação de uma função.
- Reconhecer que a diferencial é uma APROXIMAÇÃO da variação real, não seu valor exato.
Conhecimentos prévios
- Reta tangente e reta normal, antecipado pela Aula 499 deste módulo.
- Interpretação geométrica da derivada, Aula 501 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula515_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: usando a reta tangente para aproximar √4,1 a partir de √4=2, o resultado da aproximação é exatamente igual ao valor real de √4,1?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=√x, f(4)=2 no quadro e perguntar se a aproximação linear dá o valor EXATO de f(4,1). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que a diferencial dy calcula a variação EXATA Δy da função — a diferencial é uma APROXIMAÇÃO, baseada na reta tangente (uma reta), enquanto a função real é curva; os dois valores são próximos, mas não idênticos, exceto quando a função já é linear.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a linearização de f perto de x=a é L(x)=f(a)+f'(a)(x-a) — a equação da reta tangente, usada para aproximar f(x) para x próximo de a. A diferencial dy=f'(x)dx aproxima a variação Δy=f(x+dx)-f(x) para dx pequeno. Para f(x)=√x em a=4: f'(x)=1/(2√x), f'(4)=1/4; aproximando √4,1 com dx=0,1: L(4,1)=2+1/4·0,1=2,025. O valor real de √4,1≈2,02485 — próximo, mas não idêntico (diferença de aproximadamente 0,00015). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — a aproximação linear dá 2,025, enquanto o valor real é aproximadamente 2,02485; são próximos mas não exatamente iguais, pois a reta tangente só coincide com a curva no próprio ponto a.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: usar a linearização coletivamente para aproximar (2,01)3 a partir de f(x)=x3 em a=2 (L(2,01)=8+12·0,01=8,12, comparar com valor exato 8,120601). Em duplas: aproximar √9,05 usando f(x)=√x em a=9.
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — a aproximação por diferencial dá 2,025, um valor próximo mas diferente do valor real √4,1≈2,02485; a diferencial usa a reta tangente (reta), enquanto a raiz quadrada é uma curva, então a aproximação tem uma pequena margem de erro.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Escreva a fórmula da linearização de f perto de x=a.
Gabarito: L(x)=f(a)+f'(a)(x-a).
2. Use a linearização para aproximar √4,1, a partir de f(x)=√x em a=4.
Gabarito: L(4,1)=2,025.
3. Use a linearização para aproximar (2,01)3, a partir de f(x)=x3 em a=2.
Gabarito: L(2,01)=8,12.
4. A diferencial dy é exatamente igual à variação real Δy?
Gabarito: Não — é uma aproximação, baseada na reta tangente; só coincidem exatamente se a função já for linear.
5. Encontre o erro: "a diferencial dy calcula o valor exato da variação de uma função".
Gabarito: Errado: a diferencial é uma aproximação baseada na reta tangente; o valor real pode diferir ligeiramente, especialmente para variações maiores.