Aula 521 — Teste da primeira derivada
50 minObjetivo geral
Aplicar o teste da primeira derivada para classificar pontos críticos como máximo local, mínimo local, ou nenhum dos dois.
Objetivos específicos
- Analisar a mudança de sinal de f' antes e depois de um ponto crítico.
- Classificar um ponto crítico como máximo local (sinal +→-), mínimo local (sinal -→+), ou nenhum (sem mudança de sinal).
- Reconhecer que f'(c)=0 sozinho não determina o tipo de extremo — é preciso checar os dois lados.
Conhecimentos prévios
- Máximos e mínimos locais, Aula 520 deste módulo.
- Crescimento e decrescimento, Aula 519 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula521_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: se f'(c)=0, já dá pra saber se c é máximo ou mínimo local, só com essa informação?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f'(c)=0 no quadro e perguntar se esse único fato já classifica o ponto crítico. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que f'(c)=0 sozinho já determina se é máximo, mínimo ou nenhum — é preciso examinar o SINAL de f' nos dois lados de c (antes e depois), não apenas o valor no próprio ponto crítico.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o teste da primeira derivada usa a mudança de sinal de f' em torno do ponto crítico c: se f' muda de positivo para negativo (crescente→decrescente), c é MÁXIMO local; se muda de negativo para positivo (decrescente→crescente), c é MÍNIMO local; se não muda de sinal, c não é extremo. Para f(x)=x3-3x, ponto crítico x=-1: f'(-2)=9>0 (antes) e f'(0)=-3<0 (depois) — muda de + para -, então x=-1 é MÁXIMO local. Em x=1: f'(0)=-3<0 (antes) e f'(2)=9>0 (depois) — muda de - para +, então x=1 é MÍNIMO local. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — é preciso examinar o sinal de f' ANTES e DEPOIS do ponto crítico; f'(c)=0 sozinho não diz nada sobre o tipo de extremo.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: classificar coletivamente os pontos críticos de g(x)=x2-4x+1 usando o teste da primeira derivada (x=2 é mínimo local, pois g' muda de - para +). Em duplas: classificar o ponto crítico x=0 de h(x)=x3 (não é extremo, pois h'(x)=3x2≥0 não muda de sinal).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — f'(c)=0 sozinho não determina o tipo de extremo; é preciso checar o sinal de f' antes e depois de c, aplicando o teste da primeira derivada.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie o teste da primeira derivada para classificar um ponto crítico.
Gabarito: Se f' muda de + para - em c, é máximo local; de - para +, é mínimo local; sem mudança, não é extremo.
2. Classifique o ponto crítico x=-1 de f(x)=x3-3x.
Gabarito: Máximo local (f' muda de + para -).
3. Classifique o ponto crítico x=1 de f(x)=x3-3x.
Gabarito: Mínimo local (f' muda de - para +).
4. Classifique o ponto crítico x=2 de g(x)=x2-4x+1.
Gabarito: Mínimo local (g' muda de - para +).
5. Encontre o erro: "basta saber que f'(c)=0 para classificar c como máximo ou mínimo".
Gabarito: Errado: é preciso examinar o sinal de f' antes e depois de c para classificar o ponto crítico.