Aula 520 — Máximos e mínimos locais
50 minObjetivo geral
Reconhecer que máximos e mínimos locais só podem ocorrer em pontos críticos, mas nem todo ponto crítico é um extremo local.
Objetivos específicos
- Definir máximo e mínimo local em termos de comparação com pontos vizinhos.
- Reconhecer que todo extremo local ocorre num ponto crítico (condição necessária, não suficiente).
- Identificar um ponto crítico que NÃO é extremo local (ponto de inflexão com tangente horizontal).
Conhecimentos prévios
- Pontos críticos, Aula 518 deste módulo.
- Crescimento e decrescimento, Aula 519 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula520_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para f(x)=x3, x=0 é ponto crítico (f'(0)=0). Isso significa que x=0 é máximo ou mínimo local?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=x3 no quadro, calcular f'(0)=0, e perguntar se isso garante um extremo local em x=0. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): achar que TODO ponto crítico é automaticamente um máximo ou mínimo local — ser ponto crítico é uma condição NECESSÁRIA para ser extremo local, mas não SUFICIENTE; existem pontos críticos que não são nem máximo nem mínimo, como x=0 em f(x)=x3.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: um máximo local em x=c significa que f(c)≥f(x) para todo x perto de c; mínimo local é o oposto. Todo extremo local ocorre num ponto crítico (se f'(c) existisse e fosse diferente de zero, a função ainda estaria subindo ou descendo ali, não teria um extremo) — mas a recíproca é falsa. Para f(x)=x3: f'(x)=3x2≥0 sempre (nunca negativo), então f é sempre crescente (ou constante só em x=0), nunca decrescente — x=0 é ponto crítico, mas a função continua crescendo antes e depois, não há máximo nem mínimo ali, apenas um "patamar" instantâneo (ponto de inflexão com tangente horizontal, a ser visto adiante). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — x=0 é ponto crítico de f(x)=x3, mas não é máximo nem mínimo local, pois a função é crescente antes E depois desse ponto.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente que os pontos críticos de f(x)=x3-3x (x=-1 e x=1, Aula 518) SÃO extremos locais, usando os intervalos de crescimento/decrescimento da Aula 519 (x=-1 é máximo local, pois f cresce antes e decresce depois; x=1 é mínimo local, pois f decresce antes e cresce depois). Em duplas: confirmar que x=0 não é extremo local de g(x)=x5 (crescente antes e depois, mesmo com g'(0)=0).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — x=0 é ponto crítico de x3 (f'(0)=0), mas NÃO é extremo local, pois a função é crescente tanto antes quanto depois desse ponto; ser ponto crítico é necessário mas não suficiente para ser máximo ou mínimo local.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. x=0 é ponto crítico de f(x)=x3. É máximo ou mínimo local?
Gabarito: Nem um nem outro — a função é crescente antes e depois de x=0.
2. Os pontos críticos de f(x)=x3-3x (x=-1 e x=1) são extremos locais?
Gabarito: Sim — x=-1 é máximo local, x=1 é mínimo local.
3. Ser ponto crítico é condição suficiente para ser extremo local?
Gabarito: Não — é condição necessária, mas não suficiente.
4. x=0 é ponto crítico de g(x)=x5. É extremo local?
Gabarito: Não — g é crescente antes e depois de x=0.
5. Encontre o erro: "todo ponto crítico de uma função é automaticamente um máximo ou mínimo local".
Gabarito: Errado: ser ponto crítico é necessário, mas não suficiente; alguns pontos críticos (como x=0 em x3) não são extremos locais.