Aula 526 — Problemas de otimização
50 minObjetivo geral
Resolver problemas de otimização, verificando também os extremos do intervalo, não apenas os pontos críticos internos.
Objetivos específicos
- Modelar um problema de otimização como uma função de uma variável a maximizar ou minimizar.
- Encontrar os pontos críticos da função no intervalo relevante.
- Verificar também os valores da função nos EXTREMOS do intervalo, não só nos pontos críticos internos.
Conhecimentos prévios
- Teste da segunda derivada, Aula 524 deste módulo.
- Pontos críticos, Aula 518 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula526_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para maximizar o volume de uma caixa cortando quadrados de lado x de uma cartolina 12×12, basta achar o ponto crítico da função volume e pronto?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever V(x)=x(12-2x)2 no quadro (volume da caixa) e perguntar se basta encontrar o ponto crítico dentro do intervalo válido (0<x<6). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de checar os valores da função nos EXTREMOS do intervalo de validade (aqui, x=0 e x=6, onde o volume é zero) — em problemas de otimização com domínio restrito (intervalo fechado), o máximo ou mínimo pode estar tanto num ponto crítico interno quanto num dos extremos do intervalo; ambos precisam ser comparados.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: para V(x)=x(12-2x)2, com 0≤x≤6: V'(x)=(12-2x)2+x·2(12-2x)(-2)=(12-2x)[(12-2x)-4x]=(12-2x)(12-6x); igualando a zero, x=6 ou x=2. Como x=6 é o limite do intervalo (volume zero ali), o candidato interno relevante é x=2: V(2)=2·(8)2=128. Comparando com os extremos V(0)=0 e V(6)=0, o máximo absoluto no intervalo [0,6] é V(2)=128, confirmado tanto pelo ponto crítico interno quanto pela comparação com os extremos (que dão zero, claramente menores). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — é preciso comparar o valor no ponto crítico interno (x=2, V=128) com os valores nos extremos do intervalo (x=0 e x=6, ambos V=0); nesse caso o ponto crítico vence, mas em outros problemas o extremo do intervalo pode ser o máximo ou mínimo real.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: resolver coletivamente um problema de otimização: maximizar a área de um retângulo com perímetro fixo de 20 m (A=x(10-x), máximo em x=5, A=25 — quadrado). Em duplas: minimizar a soma de dois números positivos cujo produto é 36 (x+36/x, mínimo em x=6, soma=12).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — é preciso também verificar os valores da função nos extremos do intervalo (x=0 e x=6), comparando com o ponto crítico interno (x=2); nesse problema o ponto crítico dá o máximo, mas essa comparação é sempre necessária em intervalos fechados.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Para V(x)=x(12-2x)2 em [0,6], encontre o ponto crítico interno relevante e o volume máximo.
Gabarito: x=2, V(2)=128.
2. Quais são os valores de V(x) nos extremos do intervalo [0,6]?
Gabarito: V(0)=0 e V(6)=0.
3. Maximize a área de um retângulo com perímetro 20 m.
Gabarito: x=5 (quadrado), área máxima 25 m2.
4. Minimize a soma de dois números positivos cujo produto é 36.
Gabarito: x=6, soma mínima 12.
5. Encontre o erro: "num problema de otimização, basta achar o ponto crítico interno; os extremos do intervalo nunca precisam ser checados".
Gabarito: Errado: é sempre necessário comparar o valor no ponto crítico interno com os valores nos extremos do intervalo.