Aula 527 — Teorema de Rolle
50 minObjetivo geral
Compreender o Teorema de Rolle e reconhecer a importância de cada uma de suas três hipóteses.
Objetivos específicos
- Enunciar o Teorema de Rolle: f contínua em [a,b], derivável em (a,b), f(a)=f(b), implica existir c em (a,b) com f'(c)=0.
- Aplicar o teorema para garantir a existência de um ponto crítico sem calculá-lo diretamente.
- Reconhecer que a hipótese de diferenciabilidade é indispensável, com um contraexemplo onde ela falha.
Conhecimentos prévios
- Pontos críticos, Aula 518 deste módulo.
- Teorema do Valor Intermediário, Módulo 29.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula527_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar derivadas e visualizar retas tangentes.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: f(x)=|x| em [-1,1] é contínua, e f(-1)=f(1)=1. Isso garante, pelo Teorema de Rolle, um ponto c em (-1,1) com f'(c)=0?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever f(x)=|x| no quadro, confirmar f(-1)=f(1)=1, e perguntar se o Teorema de Rolle se aplica aqui. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar o Teorema de Rolle verificando só a continuidade e a igualdade f(a)=f(b), esquecendo de checar a hipótese de DIFERENCIABILIDADE no intervalo aberto — f(x)=|x| não é diferenciável em x=0 (dentro do intervalo (-1,1)), então o teorema NÃO se aplica, e de fato não existe c com f'(c)=0 (a derivada de |x| vale -1 ou 1, nunca 0).
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: o Teorema de Rolle diz: se f é contínua em [a,b], DIFERENCIÁVEL em (a,b), e f(a)=f(b), então existe pelo menos um c em (a,b) com f'(c)=0. As três hipóteses são todas necessárias. Para f(x)=|x| em [-1,1]: contínua sim, f(-1)=f(1)=1 sim, mas NÃO é diferenciável em x=0 — falha a segunda hipótese, e de fato não há ponto com derivada zero (f'(x)=-1 para x<0, f'(x)=1 para x>0). Já para f(x)=x2-4x+3 em [1,3]: contínua, diferenciável em todo R, f(1)=f(3)=0 — todas as hipóteses se cumprem, e de fato existe c=2 em (1,3) com f'(2)=0 (verificável: f'(x)=2x-4). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — f(x)=|x| não é diferenciável em x=0 (dentro do intervalo), falhando uma hipótese essencial do teorema; por isso não existe c com f'(c)=0 nesse caso.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: verificar coletivamente as três hipóteses do Teorema de Rolle para f(x)=x2-4x+3 em [1,3] e encontrar o valor de c (c=2). Em duplas: verificar por que o Teorema de Rolle não se aplica a f(x)=1/x em [-1,1] (nem é contínua em [-1,1], pois f não está definida em x=0).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — apesar de f(x)=|x| ser contínua e satisfazer f(-1)=f(1), ela não é diferenciável em x=0 (dentro do intervalo aberto), então o Teorema de Rolle não se aplica, e de fato não existe c com f'(c)=0.
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie o Teorema de Rolle.
Gabarito: Se f é contínua em [a,b], diferenciável em (a,b), e f(a)=f(b), existe c em (a,b) com f'(c)=0.
2. O Teorema de Rolle se aplica a f(x)=|x| em [-1,1]? Por quê?
Gabarito: Não — f não é diferenciável em x=0, dentro do intervalo aberto.
3. Para f(x)=x2-4x+3 em [1,3], encontre o valor de c garantido pelo Teorema de Rolle.
Gabarito: c=2 (f'(2)=0).
4. Quais são as três hipóteses do Teorema de Rolle?
Gabarito: Continuidade em [a,b], diferenciabilidade em (a,b), e f(a)=f(b).
5. Encontre o erro: "o Teorema de Rolle só exige continuidade e f(a)=f(b), a diferenciabilidade não é essencial".
Gabarito: Errado: a diferenciabilidade em (a,b) é uma hipótese indispensável — sem ela, o teorema pode falhar, como no caso de f(x)=|x|.