Aula 539 — Teorema Fundamental do Cálculo — Parte I
50 minObjetivo geral
Aplicar a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo para derivar funções definidas por uma integral com limite variável.
Objetivos específicos
- Enunciar a Parte I do TFC: d/dx[∫[a,x]f(t)dt]=f(x).
- Aplicar essa regra a integrais com limite superior igual a x.
- Combinar a Parte I do TFC com a regra da cadeia quando o limite superior é uma função de x, não x diretamente.
Conhecimentos prévios
- Integral definida, Aula 536 deste módulo.
- Regra da cadeia, Módulo 30.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula539_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para calcular d/dx[∫[0,x2]sen(t)dt], basta aplicar a Parte I do TFC diretamente, obtendo sen(x2)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever d/dx[∫[0,x2]sen(t)dt] no quadro e perguntar se a resposta é simplesmente sen(x2). Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): aplicar a Parte I do TFC diretamente quando o limite superior NÃO é x, mas sim uma função de x (aqui, x2) — nesse caso, é preciso combinar o TFC com a regra da cadeia, multiplicando pela derivada do limite superior, assim como em qualquer composição de funções.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a Parte I do TFC diz que, se F(x)=∫[a,x]f(t)dt, então F'(x)=f(x) — a derivada de uma integral com limite superior x simplesmente "desfaz" a integral, devolvendo a função original avaliada em x. Quando o limite superior é uma função g(x) em vez de x, aplica-se a regra da cadeia: d/dx[∫[a,g(x)]f(t)dt]=f(g(x))·g'(x). Para d/dx[∫[0,x2]sen(t)dt]: aqui g(x)=x2, g'(x)=2x, então a derivada é sen(x2)·2x=2x·sen(x2), não apenas sen(x2). Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — como o limite superior é x2 (não x diretamente), é preciso multiplicar pela derivada de x2 (que é 2x), resultando em 2x·sen(x2).
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente d/dx[∫[0,x]cos(t)dt] (aplicação direta da Parte I: resultado cos(x)). Em duplas: calcular d/dx[∫[1,x3]t2dt] (com a cadeia: (x3)2·3x2=3x8).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — como o limite superior é x2 (uma função de x, não x diretamente), é preciso aplicar a regra da cadeia, multiplicando pela derivada de x2 (2x); a resposta correta é 2x·sen(x2), não apenas sen(x2).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie a Parte I do Teorema Fundamental do Cálculo.
Gabarito: d/dx[∫[a,x]f(t)dt]=f(x).
2. Calcule d/dx[∫[0,x]cos(t)dt].
Gabarito: cos(x).
3. Calcule d/dx[∫[0,x2]sen(t)dt].
Gabarito: 2x·sen(x2).
4. Calcule d/dx[∫[1,x3]t2dt].
Gabarito: 3x8.
5. Encontre o erro: "d/dx[∫[0,x2]sen(t)dt]=sen(x2), aplicando o TFC direto".
Gabarito: Errado: o limite superior é x2, não x; é preciso multiplicar pela derivada de x2 (regra da cadeia), resultando em 2x·sen(x2).