Aula 540 — Teorema Fundamental do Cálculo — Parte II
50 minObjetivo geral
Aplicar a Parte II do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular integrais definidas via primitivas.
Objetivos específicos
- Enunciar a Parte II do TFC: ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a), para F primitiva de f.
- Aplicar essa fórmula avaliando a primitiva em AMBOS os limites e subtraindo.
- Reconhecer que qualquer primitiva F serve para o cálculo, pois a constante C se cancela na subtração.
Conhecimentos prévios
- TFC Parte I, Aula 539 deste módulo.
- Integrais imediatas, Aula 532 deste módulo.
Recursos didáticos
- Apresentação de slides — Possor_MatAula540_Apresentacao.pptx.
- Quadro/lousa e material de escrita.
- Wolfram Alpha e GeoGebra CAS, para verificar integrais e visualizar áreas e sólidos de revolução.
Desenvolvimento da aula
Acolhida e Sondagem de Conhecimentos Prévios
5 min · Ausubel — ativação de subsunçoresO professor pergunta: para calcular ∫[1,3]x2dx usando uma primitiva F(x)=x3/3, basta calcular F(3)?
Problematização Inicial
5 min · Bachelard — obstáculo epistemológico antecipadoEscrever ∫[1,3]x2dx no quadro e perguntar se calcular só F(3) já resolve o problema. Obstáculo a nomear (sem resolver ainda): esquecer de subtrair F(a) — calcular apenas F(b) e parar por aí, esquecendo que a fórmula do TFC exige F(b) MENOS F(a), não apenas o valor em b.
Desenvolvimento Conceitual
20 min · Exposição dialogadaApresentação dos slides 2 a 9: a Parte II do TFC diz: ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a), onde F é QUALQUER primitiva de f (a escolha da constante C não importa, pois ela se cancela na subtração: (F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)). Para ∫[1,3]x2dx, com F(x)=x3/3: F(3)-F(1)=27/3-1/3=9-1/3=26/3. Se alguém calculasse só F(3)=9, estaria esquecendo de subtrair F(1)=1/3, chegando a um resultado errado. Resolvendo a pergunta do Momento 2: não — é preciso calcular F(3) E F(1), e SUBTRAIR: F(3)-F(1)=9-1/3=26/3, não apenas F(3)=9.
Resolução Guiada
10 min · Vygotsky — Zona de Desenvolvimento ProximalResolução guiada: calcular coletivamente ∫[0,2]3x2dx usando F(x)=x3 (resultado F(2)-F(0)=8-0=8). Em duplas: calcular ∫[0,π]sen(x)dx usando F(x)=-cos(x) (resultado -cos(π)-(-cos(0))=1+1=2, confirmando a Aula 538).
Exercícios de Fixação
7 min · Prática independenteAplicação individual (ou em duplas) da lista de exercícios de fixação (seção 8 deste plano).
Síntese e Fechamento
3 min · Consolidação (fechamento circular)Retomar a pergunta do Momento 1: não — é preciso calcular F(b) e F(a) e subtrair; parar em F(3)=9 esquece de subtrair F(1)=1/3, dando um resultado incompleto (o correto é 26/3, não 9).
Avaliação formativa
Ao longo da aula: perguntas rápidas de verificação (Momento 3) e observação direta durante a resolução guiada (Momento 4). Ao final: correção coletiva dos exercícios.
Lista de exercícios
1. Enuncie a Parte II do Teorema Fundamental do Cálculo.
Gabarito: ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a), para F primitiva de f.
2. Calcule ∫[1,3]x2dx.
Gabarito: 26/3.
3. Calcule ∫[0,2]3x2dx.
Gabarito: 8.
4. Calcule ∫[0,π]sen(x)dx usando F(x)=-cos(x).
Gabarito: 2.
5. Encontre o erro: "para calcular ∫[1,3]x2dx com F(x)=x3/3, basta calcular F(3)=9".
Gabarito: Errado: é preciso subtrair F(1)=1/3; o resultado correto é F(3)-F(1)=26/3.